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Fiche 11 / 13
Primitives et équations différentielles
Primitives et équations différentielles
$\text{Primitive d'une fonction }f\text{ sur un intervalle }I$
$F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle $I$ si et seulement si $F$ est dérivable sur $I$ avec $F'=f$.
$\text{Équation différentielle }y'=f$
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$. Résoudre l'équation différentielle $y'=f$ c'est trouver toutes les fonctions $F$ dérivables sur $I$ telles que $F'=f$. Cela revient à trouver les primitives de $f$ sur $I$.
Primitives usuelles
| Fonction | Primitive | Intervalle |
|---|---|---|
| $f(x)=a$ | $F(x)=ax$ | $\mathbb{R}$ |
| $f(x)=x$ | $F(x)=\dfrac{x^2}{2}$ | $\mathbb{R}$ |
| $f(x)=x^n$ | $F(x)=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ | $\mathbb{R}$ |
| $f(x)=\dfrac{1}{x}$ | $F(x)=\ln(x)$ | $]0;~+\infty[$ |
| $f(x)=\dfrac{1}{x^n}$ | $F(x)=-\dfrac{1}{(n-1)x^{n-1}}$ | $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ |
| $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ | $F(x)=2\sqrt{x}$ | $]0;~+\infty[$ |
| $f(x)=\sin(x)$ | $F(x)=-\cos(x)$ | $\mathbb{R}$ |
| $f(x)=\cos(x)$ | $F(x)=\sin(x)$ | $\mathbb{R}$ |
| $f(x)=e^x$ | $F(x)=e^x$ | $\mathbb{R}$ |
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