Combinatoire et dénombrement

Ensembles disjoints

Deux ensembles $A$ et $B$ sont disjoints lorsqu'ils n'ont aucun élément commun :

$$A\cap B=\emptyset$$

Exemple : $A=\{1;2;3\}$ et $B=\{4;5\}$ sont disjoints. En revanche $A$ et $C=\{3;6\}$ ne le sont pas ($3$ est commun).

Partie et complémentaire

Partie

$A$ est une partie (ou sous-ensemble) de $E$ si tous les éléments de $A$ sont dans $E$. On note $A\subset E$.

Complémentaire

Si $A\subset E$, le complémentaire $\overline{A}$ (dans $E$) est l'ensemble des éléments de $E$ qui ne sont pas dans $A$.

Exemple : $E=\{1;2;3;4;5\}$ et $A=\{2;4\}$. Alors $\overline{A}=\{1;3;5\}$ et $card(\overline{A})=card(E)-card(A)=3$.

Principe additif

Si $A_1,\ldots,A_n$ sont des ensembles deux à deux disjoints, alors

$$card(A_1\cup \cdots\cup A_n)=card(A_1)+\cdots+card(A_n)$$

Exemple : une urne contient $4$ boules rouges et $7$ boules bleues. Nombre de boules : $4+7=11$ (les deux ensembles de couleurs sont disjoints).

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