Compétences
Des thèmes transversaux pour vous aider à réussir vos épreuves de mathématiques.
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Second degré
Discriminant, racines, factorisation, sommet et tableau de signes.
Second degré
Un trinôme du second degré s’écrit $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a \neq 0$. Sa courbe est une parabole.
$a>0$ : sourire
Minimum au sommet
$a<0$ : grimace
Maximum au sommet
Vidéo à venir
Calculer $\Delta$, conclure, puis factoriser — le réflexe en 5 minutes.
$\Delta = b^2 - 4ac$
$\Delta>0$
Deux racines
$x_{\pm}=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$
$\Delta=0$
Une racine double
$x_0=\dfrac{-b}{2a}$
$\Delta<0$
Pas de racine réelle
la parabole ne coupe pas l’axe des $x$
$a=1$, $b=-3$, $c=-4$. Donc $\Delta = (-3)^2-4(1)(-4)=9+16=25$.
Racines
$x_1=\dfrac{3-5}{2}=-1$ et $x_2=\dfrac{3+5}{2}=4$.
Factorisation
$x^2-3x-4 = (x+1)(x-4)$. (On factorise par $a(x-x_1)(x-x_2)$, ici $a=1$.)
Sommet
Abscisse $x_S=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{3}{2}$. Ordonnée $f\!\left(\dfrac{3}{2}\right)= -\dfrac{25}{4}$. C’est un minimum car $a>0$.
Vidéo à venir
Le réflexe $a$ / racines / signe, appliqué à $x^2-3x-4$.
Le trinôme est du signe de $a$ à l’extérieur des racines, et du signe contraire entre les racines.
Ici $a=1>0$ : positif dehors, négatif entre $-1$ et $4$. C’est ce tableau qui résout $f(x)\geq 0$, $f(x)<0$, etc.
Si $x_1$ et $x_2$ existent,
Somme
$x_1+x_2 = -\dfrac{b}{a}$
Produit
$x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}$
Contrôle rapide sur l’exemple : somme $-1+4=3=-b/a$, produit $(-1)\times 4=-4=c/a$. Si ça ne colle pas, l’erreur est dans $\Delta$ ou les racines.
$\Delta = b^2+4ac$. Non : c’est $b^2\mathbf{-}4ac$. Le moins disparaît dès que $c$ est négatif.
Oublier $a$ dans la factorisation. $2x^2-2 = 2(x-1)(x+1)$, pas $(x-1)(x+1)$.
Signe à l’envers. On recopie le signe de $a$ à l’extérieur, toujours.