Compétences
Des thèmes transversaux pour vous aider à réussir vos épreuves de mathématiques.
5 / 5
Dérivation
Nombre dérivé, formules, tangente et lien avec les variations.
Dérivation
Taux de variation
$f'(a)$ est la limite du taux $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ quand $h\to 0$. C’est la vitesse instantanée de $f$ en $a$.
Tangente
C’est aussi la pente de la tangente à la courbe en $x=a$. Équation : $y = f'(a)(x-a)+f(a)$.
Vidéo à venir
Du taux d’accroissement à l’équation de la tangente, sur un exemple numérique.
| $f(x)$ | $f'(x)$ |
|---|---|
| $k$ (constante) | $0$ |
| $x^n$ ($n\in\mathbb{Z}$) | $n x^{n-1}$ |
| $\sqrt{x}$ | $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ |
| $\dfrac{1}{x}$ | $-\dfrac{1}{x^2}$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $\ln x$ | $\dfrac{1}{x}$ |
Et les opérations :
$(u+v)'=u'+v'$
$(ku)'=k u'$
$(uv)'=u'v+uv'$
$\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$
Composée : $(v\circ u)' = u' \times v'(u)$. En pratique : « dérivée du dehors, fois dérivée du dedans ».
$f(x)=x^2-3x$. Tangente au point d’abscisse $2$.
Point. $f(2)=4-6=-2$, donc on passe par $(2;\,-2)$.
Pente. $f'(x)=2x-3$, donc $f'(2)=1$.
Équation. $y = 1\cdot(x-2)+(-2)$, soit $y=x-4$.
Vidéo à venir
Dériver, factoriser $f'$, tableau de variations, et conclure.
Soit $f(x)=x^3-3x$ sur $\mathbb{R}$. Alors $f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$.
$f$ admet un maximum local $f(-1)=2$ et un minimum local $f(1)=-2$. Le signe de $f'$ se lit comme un second degré : $3>0$, racines $-1$ et $1$.
Dériver (et simplifier / factoriser $f'$).
Signe de $f'$ (tableau, souvent un second degré ou un produit).
Flèches : $f'>0$ on monte, $f'<0$ on descend. Calculer $f$ aux valeurs intéressantes.
Tangente $\neq$ $y=f'(a)x+f(a)$. Il manque $(x-a)$. La formule complète est $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.
Produit / quotient. $(uv)'$ n’est pas $u'v'$. $\left(\frac{u}{v}\right)'$ n’est pas $\frac{u'}{v'}$.
$f'(a)=0$ n’est pas toujours un extremum. Pense à $x^3$ en $0$ : tangente horizontale, mais la fonction traverse.