Compétences
Des thèmes transversaux pour vous aider à réussir vos épreuves de mathématiques.
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Lecture graphique
Lire une courbe : images, tangentes, variations, convexité, asymptotes.
Lecture graphique
Une figure bien lue vaut souvent un calcul. On y lit des nombres (images, dérivées) et des comportements (signe, variations, convexité).
Vidéo à venir
Cinq questions types sur une même courbe, réponse par réponse.
$f(a)$
Ordonnée du point d’abscisse $a$ sur la courbe. Si le point est $(2;\,-1)$, alors $f(2)=-1$.
Zéros
$f(x)=0$ : la courbe coupe l’axe des abscisses. Sur le dessin : trois racines.
Signe
Au-dessus de l’axe : $f>0$. En dessous : $f<0$.
$f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse $a$.
Tangente qui monte : $f'(a)>0$. Qui descend : $f'(a)<0$. Horizontale : $f'(a)=0$ (extremum possible).
Équation : $y = f'(a)(x-a)+f(a)$. Il te faut le point et la pente, lus sur le graphique.
Variations
La courbe monte $\Leftrightarrow$ $f$ croissante $\Leftrightarrow$ $f' \geq 0$. Elle descend $\Leftrightarrow$ $f$ décroissante $\Leftrightarrow$ $f' \leq 0$.
Convexité
« Sourire » (U) : convexe, $f''\geq 0$. « Grimace » (∩) : concave, $f''\leq 0$. Le changement : point d’inflexion.
Les tangentes d’une fonction convexe restent sous la courbe ; pour une fonction concave, elles restent au-dessus.
Sur la première figure, on peut déjà répondre à des questions de Bac :
Combien de solutions à $f(x)=0$ ? Trois (trois intersections avec l’axe des $x$).
Signe de $f$ entre le 1er et le 2e zéro ? Au-dessus de l’axe : $f>0$. Entre le 2e et le 3e : en dessous, $f<0$.
Tableau de variations. Monte jusqu’au max, descend jusqu’au min, remonte.
$f'$ aux extremums ? Tangentes horizontales : $f'=0$.
Convexité. La courbe « tourne » au voisinage du max (concave) puis du min (convexe) : un point d’inflexion entre les deux.
Vidéo à venir
Relier ce que tu vois (pente, U / ∩) aux signes de $f'$ et $f''$.
Verticale
$x=a$ : la courbe s’échappe le long de cette droite. Souvent $f(x)\to\pm\infty$ quand $x\to a$.
Horizontale
$y=L$ : la courbe se plaque vers cette hauteur à l’infini. $f(x)\to L$.
Oblique
$y=mx+p$ : même idée, mais la « hauteur cible » est une droite penchée.