Primitives et équations différentielles

$\text{Primitive d'une fonction }f\text{ sur un intervalle }I$

$F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle $I$ si et seulement si $F$ est dérivable sur $I$ avec $F'=f$.

$\text{Équation différentielle }y'=f$

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$. Résoudre l'équation différentielle $y'=f$ c'est trouver toutes les fonctions $F$ dérivables sur $I$ telles que $F'=f$. Cela revient à trouver les primitives de $f$ sur $I$.

Primitives usuelles

Fonction	Primitive	Intervalle
$f(x)=a$	$F(x)=ax$	$\mathbb{R}$
$f(x)=x$	$F(x)=\dfrac{x^2}{2}$	$\mathbb{R}$
$f(x)=x^n$	$F(x)=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$	$\mathbb{R}$
$f(x)=\dfrac{1}{x}$	$F(x)=\ln(x)$	$]0;~+\infty[$
$f(x)=\dfrac{1}{x^n}$	$F(x)=-\dfrac{1}{(n-1)x^{n-1}}$	$\mathbb{R} \setminus \{0\}$
$f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$	$F(x)=2\sqrt{x}$	$]0;~+\infty[$
$f(x)=\sin(x)$	$F(x)=-\cos(x)$	$\mathbb{R}$
$f(x)=\cos(x)$	$F(x)=\sin(x)$	$\mathbb{R}$
$f(x)=e^x$	$F(x)=e^x$	$\mathbb{R}$

Primitives et opérations

Fonction	Primitive	Intervalle
$f+g$	$F+G$	$D_f \cap D_g$
$kf$, $k\in \mathbb{R}$	$kF$	$D_f$

Primitives et composition

Fonction	Primitive	Intervalle
$u'.u^n$	$\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$	$D_u$
$\dfrac{u'}{\sqrt{u}}$	$2\sqrt{u}$	$D_u \cap u > 0$
$\dfrac{u'}{u^2}$	$-\dfrac{1}{u}$	$D_u \cap u \neq 0$
$u'.e^u$	$e^u$	$D_u$
$\dfrac{u'}{u}$	$\ln\|u\|$	$D_u \cap u \neq 0$
$u'.\sin(u)$	$-\cos(u)$	$D_u$
$u'.\cos(u)$	$\sin(u)$	$D_u$

$\text{Équation différentielle }y'=ay$

Les solutions de l'équation différentielle $y'=ay$ sont les fonctions: $$y(x)=Ce^{ax}~~~C\in \mathbb{R}$$

$\text{Équation différentielle }y'=ay+b$

Les solutions de l'équation différentielle $y'=ay+b$ sont les fonctions: $$y(x)=Ce^{ax}-\dfrac{b}{a}~~~C\in \mathbb{R}$$

$\text{Équation différentielle }y'=ay+f$

Les solutions de l'équation différentielle $(E)~~y'=ay+f$ sont les fonctions: $$y(x)=Ce^{ax}+\phi(x)~~~C\in \mathbb{R}$$ avec $\phi$ une solution particulière de $(E)$

Résumé du cours