Loi des grands nombres

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Résumé de cours

Loi des grands nombres

1. L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev

  1. a. Variable aléatoire positive

    Une variable aléatoire est dite positive ou nulle dans un univers $ \Omega $ lorsque toutes les valeurs prises par celle-ci sont des nombres réels positifs ou nuls.

  2. b. L’inégalité de Markov

    $ X $ est une variable aléatoire réelle positive ou nulle d’espérance $ E(X) $

    $$ \forall a > 0 \quad P(X \geq a) \leq \frac{E(X)}{a} $$

  3. c. L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev

    Soit $ X $ une variable aléatoire d’espérance $ E(X) $ et de variance $ V(X) $

    $$ P(\left|X - E(X)\right| \geq a) \leq \frac{V(X)}{a^2} $$

2. Loi des grands nombres

  1. a. L’inégalité de concentration

    Soit $ X $ une variable aléatoire d’espérance $ E(X) $ et de variance $ V(X) $

    On appelle $ M_n $ la variable moyenne avec $ M_n = \frac{1}{n} \sum X_i $

    $$ P(\left|M_n - E(X)\right| \geq a) \leq \frac{V(X)}{n a^2} $$

  2. b. Loi faible des grands nombres

    $$ \lim_{n \to \infty} P(\left|M_n - E(X)\right| \geq a) = 0 $$

Solution écrite

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