Loi des grands nombres

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Fiches

Sommes de variables aléatoires, concentration et loi des grands nombres

Linéarité de l'espérance

Pour toutes variables aléatoires $X$, $Y$ et tout réel $a$ :

$$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$$

$$E(aX)=a\,E(X)$$

Variance d'une somme (indépendance)

Si $X$ et $Y$ sont indépendantes, et pour tout réel $a$ :

$$V(X+Y)=V(X)+V(Y)$$

$$V(aX)=a^{2}V(X)$$

Échantillon : somme $S_n$ et moyenne $M_n$

Soit $(X_1,\ldots,X_n)$ un échantillon d'une variable d'espérance $\mu$ et de variance $V$. On pose $S_n=\sum_{i=1}^{n}X_i$ et $M_n=\dfrac{S_n}{n}$.

$$E(S_n)=n\mu,\quad V(S_n)=nV$$

$$E(M_n)=\mu,\quad V(M_n)=\dfrac{V}{n}$$

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Résumé de cours

Loi des grands nombres

Sommes de variables aléatoires, concentration et loi des grands nombres

Linéarité de l'espérance

Pour toutes variables aléatoires $X$, $Y$ et tout réel $a$ :

$$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$$

$$E(aX)=a\,E(X)$$

Variance d'une somme (indépendance)

Si $X$ et $Y$ sont indépendantes, et pour tout réel $a$ :

$$V(X+Y)=V(X)+V(Y)$$

$$V(aX)=a^{2}V(X)$$

Échantillon : somme $S_n$ et moyenne $M_n$

Soit $(X_1,\ldots,X_n)$ un échantillon d'une variable d'espérance $\mu$ et de variance $V$. On pose $S_n=\sum_{i=1}^{n}X_i$ et $M_n=\dfrac{S_n}{n}$.

$$E(S_n)=n\mu,\quad V(S_n)=nV$$

$$E(M_n)=\mu,\quad V(M_n)=\dfrac{V}{n}$$

Variable aléatoire positive
Une variable aléatoire est dite positive ou nulle dans un univers $\Omega$ lorsque toutes les valeurs prises par celle-ci sont des nombres réels positifs ou nuls.
Inégalité de Markov

$X$ est une variable aléatoire réelle positive ou nulle d'espérance $E(X)$

Inégalité de Markov

$$\forall a > 0 \quad P(X \geq a) \leq \frac{E(X)}{a}$$

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $E(X)$ et de variance $V(X)$

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

$$P(|X - E(X)| \geq a) \leq \frac{V(X)}{a^2}$$

Inégalité de concentration

Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $E(X)$ et de variance $V(X)$

On appelle $M_n$ la variable moyenne avec $M_n = \frac{1}{n} \sum X_i$

Inégalité de concentration

$$P(|M_n - E(X)| \geq a) \leq \frac{V(X)}{n a^2}$$

Loi faible des grands nombres

Loi faible des grands nombres

$$\lim_{n \to \infty} P(|M_n - E(X)| \geq a) = 0$$

La moyenne empirique converge en probabilité vers l'espérance

Synthèse des inégalités

Markov

Variable positive

$P(X \geq a) \leq \frac{E(X)}{a}$

Bienaymé-Tchebychev

Variable quelconque

$P(|X-E(X)| \geq a) \leq \frac{V(X)}{a^2}$

Application : Moyennes empiriques

Concentration : $P(|M_n-E(X)| \geq a) \leq \frac{V(X)}{na^2}$

↓ (quand $n \to \infty$)

Convergence : $\lim_{n \to \infty} P(|M_n-E(X)| \geq a) = 0$

Solution écrite

Aucune solution écrite pour cet exercice.

Vidéo