On lance $n$ fois une pièce dont la probabilité d'obtenir pile est $p\in\,]0;1[$. Pour $i\in\{1,\ldots,n\}$, on note $X_i$ la variable valant $1$ si le $i$-ème lancer donne pile, et $0$ sinon. On pose $S_n=X_1+\cdots+X_n$.

1. Préciser la loi de chaque $X_i$, puis donner $E(X_i)$ et $V(X_i)$.
2. En déduire $E(S_n)$ et $V(S_n)$ en utilisant la linéarité de l'espérance et l'indépendance des lancers.
3. Retrouver ainsi l'espérance et la variance de la loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$.

On souhaite tester une pièce pour savoir si elle est truquée. On s'intéresse en particulier à l'apparition de "face". On note $p$ la probabilité d'obtenir "face". Pour cela, on lance $n$ fois la même pièce avec $n$ entier naturel non nul. On note $M$ la fréquence empirique d'apparition de "face" et $S$ le nombre de fois que l'on a obtenu "face" parmi les $n$ lancers.

1. Exprimer $M$ en fonction de $S$.
2. En déduire l'espérance et la variance de $M$.
3. On considère que la pièce n’est pas truquée. Déterminer un nombre $n_0$ de lancers de pièce permettant d’affirmer, avec un risque inférieur à 5%, que la fréquence empirique d’apparition de "face" diffère de $\frac{1}{2}$ de plus de 0,02.
4. On lance le dé $n_0$ fois et on obtient une fréquence de "face" de 55%. Que peut-on en conclure ?

On lance 5 000 fois une pièce de monnaie non truquée. Soit $Y$ la variable aléatoire qui associe à cette expérience le nombre de Pile obtenus.

1. Écrire l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev relative à la variable $Y$.
2. Minorer la probabilité que le nombre d'apparitions de Pile soit strictement compris entre 2 300 et 2 700.

On considère $X$ la variable aléatoire dont la loi de probabilité est la suivante.

1. Calculer l'espérance et la variance de $X$.
2. Calculer $P(|X-E(X)| \geq 4)$.
3. Appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev à $X$ pour $a=4$ et comparer le résulat à celui obtenu à la question 2.