Loi des grands nombres

Le nombre de clients servis dans un restaurant en une journée suit une variable aléatoire d'espérance 40 et de variance 20.

1. Prouver que $P(X\geq 60) \leq \dfrac{2}{3}$.
2. En utilisant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev prouver que $P(X\geq 60) \leq 0,05$
3. Que remarque-t'on?

Pour chacune des situations suivantes, majorer les probabilités.

1. Le temps de réponse moyen d'un serveur à une requête est de 200 millisecondes. Déterminer un majorant de la probabilité qu'une requête prenne plus de 300 millisecondes pour obtenir une réponse.
2. Dans un parc d'attractions, un manège reste en moyenne quatre minutes à l'arrêt avant de redémarrer. Trouver une limite supérieure pour la probabilité que le manège reste à l'arrêt plus de huit minutes.
3. La quantité de pluie en millimètres reçue par une ville en un jour de pluie suit une variable aléatoire d'espérance 15 mm. On suppose que la quantité de pluie est toujours positive. Calculer une estimation supérieure de la probabilité que la ville reçoive plus de 30 mm de pluie en un jour.

On rappelle le résultat suivant pour les inégalités de valeurs absolues: $$|u|\geq a \Leftrightarrow u\leq -a \text{ ou } u\geq a$$

Exprimer les évéments suivants sous la forme $\{X-a \geq b\}$.

1. La distance entre $X$ et $7$ est supérieure ou égale à $6$
2. $X-3\geq 4$ ou $X-3\leq -4$
3. L'ensemble complémentaire de $\{X,~6 < X < 12 \}$
4. L'ensemble complémentaire de $\{X,~ -5 < X < 7 \}$
5. $X\geq 8$ ou $X\leq -1$
6. $X\geq 6$ ou $X\leq 2$
7. $(X-4)^2\geq 16$

On effectue $n$ tests de qualité sur des ampoules d'une chaîne de production. Pour le $i$-ème test, on note $X_i$ la variable aléatoire valant 1 si l'ampoule est défectueuse et 0 sinon. La probabilité qu'une ampoule soit défectueuse est de $\frac{1}{5}$.

1. Donner l'espérance et la variance de $X_i$.
2. En déduire l'espérance et la variance de la variable aléatoire moyenne $M_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$.
3. Quelle doit être la valeur minimale de $n$, pour que la probabilité de s'écarter de l'espérance de plus de $0,1$ soit inférieure à $0,05$?

On souhaite tester une pièce pour savoir si elle est truquée. On s'intéresse en particulier à l'apparition de "face". On note $p$ la probabilité d'obtenir "face". Pour cela, on lance $n$ fois la même pièce avec $n$ entier naturel non nul. On note $M$ la fréquence empirique d'apparition de "face" et $S$ le nombre de fois que l'on a obtenu "face" parmi les $n$ lancers.

1. Exprimer $M$ en fonction de $S$.
2. En déduire l'espérance et la variance de $M$.
3. On considère que la pièce n’est pas truquée. Déterminer un nombre $n_0$ de lancers de pièce permettant d’affirmer, avec un risque inférieur à 5%, que la fréquence empirique d’apparition de "face" diffère de $\frac{1}{2}$ de plus de 0,02.
4. On lance le dé $n_0$ fois et on obtient une fréquence de "face" de 55%. Que peut-on en conclure ?

On lance 5 000 fois une pièce de monnaie non truquée. Soit $Y$ la variable aléatoire qui associe à cette expérience le nombre de Pile obtenus.

1. Écrire l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev relative à la variable $Y$.
2. Minorer la probabilité que le nombre d'apparitions de Pile soit strictement compris entre 2 300 et 2 700.

On considère $X$ la variable aléatoire dont la loi de probabilité est la suivante.

1. Calculer l'espérance et la variance de $X$.
2. Calculer $P(|X-E(X)| \geq 4)$.
3. Appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev à $X$ pour $a=4$ et comparer le résulat à celui obtenu à la question 2.