Géométrie dans l'espace: partie 2

Exercices, quiz et cours - Niveau Terminale Spécialité.

Contrôle d'entraînement sur la géométrie dans l'espace (Orthogonalité) - n˚2

Contrôle
Exercice 1D'après Bac Polynésie 2023

L'espace est rapporté au repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j})$

On considère:

  1. le point $A(1~;~-1~;~-1)$;
  2. le plan $\mathcal{P}_1$ d'équation cartésienne: $5x+2y+4z=17$;
  3. le plan $\mathcal{P}_2$ d'équation cartésienne: $10x+14y+3z=19$;
  4. la droite $\Delta$ de représentation paramétrique : $\begin{cases}x=1+2t\\ y=-t\\ z=3-2t\end{cases}$, où $t \in \R$;
  1. Justifier que les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ ne sont pas parrallèles
  2. Démontrer que $\Delta$ est la droite d'intersection de $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$
    1. Vérifier que $A$ n'appatient pas à $\mathcal{P}_1$
    2. Justifier que $A$ n'appatient pas à $\Delta$
  4. Pour tout réel $t$, on note $M$ le point de $\Delta$ de coordonnées $(1+2t;-t;3-2t)$. On considère alors la fonction $f$ qui a tout réel $t$ associe $AM^2$, soit $f(t)=AM^2$.
    1. Démontrer que pour tout réel $t$, on a: $f(t)=9t^2-18t+17$.
    2. Démontrer que la distance $AM$ est minimale lorsque $M$ a pour coordonnées $(3;-1;1)$.
  5. On note $H$ le point de coordonnées $(3;-1;1)$. Démontrer que la droite $(AH)$ est perpendiculaire à $\Delta$.
Exercice 2D'après Bac Métropole et La Réunion 2023

L'espace est rapporté au repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j})$

On considère:

  1. les points $A(-1~;~-2~;~3)$, $B(1~;~-2~;~7)$ et $C(1~;~0~;~2)$;
  2. la droite $\Delta$ de représentation paramétrique : $\begin{cases}x=1-t\\ y=2\\ z=-4+3t\end{cases}$, où $t \in \R$;
  3. le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne: $3 x+2 y+z-4=0$;
  4. le plan $\mathcal{Q}$ d'équation cartésienne: $-6 x-4 y-2 z+7=0$.
  1. Lequel des points suivants appartient au plan $\mathcal{P}$?
    1. $R(1~;~-3~;~1)$
    2. $S(1~;~2~;~-1)$
    3. $T(1~;~0~;~1)$
    4. $U(2~;~-1~;~1)$
  2. Le triangle $ABC$ est:
    1. équilatéral
    2. rectangle isocèle
    3. isocèle non rectangle
    4. rectangle non isocèle
  3. La droite $\Delta$ est:
    1. orthogonale au plan $\mathcal{P}$
    2. sécante au plan $\mathcal{P}$
    3. incluse dans le plan $\mathcal{P}$
    4. strictement parallèle au plan $\mathcal{P}$
  4. On donne le produit scalaire $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=20$. Une mesure au degré près de l'angle $\widehat{ABC}$ est:
    1. 34˚
    2. 120˚
    3. 90˚
    4. 0˚
  5. L'intersection des plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{Q}$ est:
    1. un plan
    2. l'ensemble vide
    3. une droite
    4. réduite à un point

Contrôle d'entraînement sur la géométrie dans l'espace (Orthogonalité) - 1

Contrôle
Exercice 1D'après Bac Polynésie 2022

L'espace est rapporté au repère orthonormal où l'on considère:

  1. les points $A(2; -1; 0)$, $B(1; 0; -3)$, $C(6; 6; 1)$ et $E(1; 2; 4)$;
  2. le plan P d'équation cartésienne $2x-y-z+4=0$.
    1. Démontrer que le triangle ABC est rectangle en A.
    2. Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{BA}. \overrightarrow{BC}$ puis les longueurs $BA$ et $BC$.
    3. En déduire la mesure en degrés de l'angle $\widehat{\text{ABC}}$ arrondie au degré.
    1. Démontrer que le plan $\mathcal{P}$ est parallèle au plan ABC.
    2. En déduire une équation cartésienne du plan $ABC$.
    3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}$ orthogonale au plan $ABC$ et passant par le point $E$.
    4. Démontrer que le projeté orthogonal $H$ du point $E$ sur le plan $ABC$ a pour coordonnées $\left(4~;~\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{5}{2}\right)$.
  3. On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par $\mathcal{V} = \dfrac13 \mathcal{B}h$ où $\mathcal{B}$ désigne l'aire d'une base et $h$ la hauteur de la pyramide associée à cette base. Calculer l'aire du triangle $ABC$ puis démontrer que le volume de la pyramide $ABCE$ est égal à $16,5$ unités de volume.
Exercice 2D'après Bac Métropole et La Réunion 2023

L'espace est rapporté au repère orthonormé $(O;~\vec{i};~\vec{j};~\vec{k})$

On considère:

  1. les points $A(-1~;~-2~;~3)$, $B(1~;~-2~;~7)$ et $C(1~;~0~;~2)$;
  2. la droite $\Delta$ de représentation paramétrique : $\begin{cases}x=1-t\\ y=2\\ z=-4+3t\end{cases}$, où $t \in \R$;
  3. le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne: $3 x+2 y+z-4=0$;
  4. le plan $\mathcal{Q}$ d'équation cartésienne: $-6 x-4 y-2 z+7=0$.
  1. Lequel des points suivants appartient au plan $\mathcal{P}$?
    1. $R(1~;~-3~;~1)$
    2. $S(1~;~2~;~-1)$
    3. $T(1~;~0~;~1)$
    4. $U(2~;~-1~;~1)$
  2. Le triangle $ABC$ est:
    1. équilatéral
    2. rectangle isocèle
    3. isocèle non rectangle
    4. rectangle non isocèle
  3. La droite $\Delta$ est:
    1. orthogonale au plan $\mathcal{P}$
    2. sécante au plan $\mathcal{P}$
    3. incluse dans le plan $\mathcal{P}$
    4. strictement parallèle au plan $\mathcal{P}$
  4. On donne le produit scalaire $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=20$. Une mesure au degré près de l'angle $\widehat{ABC}$ est:
    1. 34˚
    2. 120˚
    3. 90˚
    4. 0˚
  5. L'intersection des plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{Q}$ est:
    1. un plan
    2. l'ensemble vide
    3. une droite
    4. réduite à un point

Résumé de cours

Géométrie dans l'espace: partie 2

Orthogonalité et distances dans l'espace

Base de l'espace On appelle base orthonormée de l'espace 3 vecteurs linéairement indépendants $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$ tels que: $\vec{i}.\vec{j}=0$, $\vec{j}.\vec{k}=0$, $\vec{i}.\vec{k}=0$ et $||\vec{i}||=||\vec{j}||=||\vec{k}||=1$
Orthogonalité dans l'espace
  1. Deux droites sont orthogonales lorsque leurs parallèles respectives passant par un même point sont perpendiculaires.
  2. Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux lorsque les droites dirigées par ces vecteurs sont orthogonales.
  3. Une droite est orthogonale à un plan lorsqu'elle est orthogonale à toutes les droites de ce plan.
  4. Une droite est orthogonale à un plan si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.
Plans orthogonaux dans l'espace

On considère les plans $\cal{P_1}$ et $\cal{P_2}$. $\vec{n_1}$ est un vecteur normal de $\cal{P_1}$ et $\vec{n_1}$ un vecteur normal de $\cal{P_2}$.

$\cal{P_1}$ et $\cal{P_2}$ sont orthogonaux si et seulement si $\vec{n_1}$ et $\vec{n_2}$ sont orthogonaux.

Plans parallèles dans l'espace

On considère les plans $\cal{P_1}$ et $\cal{P_2}$. $\vec{n_1}$ est un vecteur normal de $\cal{P_1}$ et $\vec{n_1}$ un vecteur normal de $\cal{P_2}$.

$\cal{P_1}$ et $\cal{P_2}$ sont parallèles si et seulement si $\vec{n_1}$ et $\vec{n_2}$ sont colinéaires.

Produit scalaire dans l'espace Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls de l'espace, leur produit scalaire est défini par: $$\vec{u}.\vec{v}=||\vec{u}||\times ||\vec{v}||\times cos(\vec{u}; \vec{v})$$
Produit scalaire dans l'espace

Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls de l'espace, leur produit scalaire est défini par: $$\vec{u}.\vec{v}=||\vec{u}||\times ||\vec{v}||\times cos(\vec{u}, \vec{v})$$

Equation cartésienne d'un plan

Soit $\vec{n}(a;~b,~c)$ un vecteur normal à un plan $P$. Alors une équation cartésienne de ce plan est: $$ax+by+cz+d=0$$.

Distance d'un point à un plan

Soit $\cal{P}$ un plan de l'espace et $A$ un point. On note $H$ le projeté orthogonal du point $A$ sur ce plan, et $\vec{n}$ un vecteur normal de $\cal{P}$.

  1. La distance du point $A$ au plan $\cal{P}$ est la plus petite longueur $AM$ avec $M \in \cal{P}$
  2. En notant $d(A, \cal{P})$ la distance du point $A$ au plan $\cal{P}$, on a $d(A, \mathcal{P})=AH$
  3. Si $\cal{P}$ a pour équation cartésienne $ac+by+cz+d=0$, $A(x_A;~y_A;~z_A)$ et $M(x;~y;~z)$ un point du plan $\cal{P}$, alors: $$d(A, \mathcal{P})=\frac{|\overrightarrow{AM}.\vec{n}|}{||\vec{n}||}=\frac{|ax_A+by_A+cz_A+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$
Distance d'un point à une droite

Soit $\cal{D}$ une droite de l'espace et $A$ un point.

  1. La distance du point $A$ à la droite $\cal{D}$ est la plus petite longueur $AM$ avec $M \in \cal{D}$
  2. Soit $H$ le projeté orthogonal du point $A$ sur $\cal{D}$. En notant $d(A, \cal{D})$ la distance du point $A$ à la droite $\cal{D}$, on a $d(A, \mathcal{D})=AH$

Solution écrite

Aucune solution écrite pour cet exercice.

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