Géométrie dans l'espace: partie 2

Base de l'espace

On appelle base orthonormée de l'espace 3 vecteurs linéairement indépendants $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$ tels que: $\vec{i}.\vec{j}=0$, $\vec{j}.\vec{k}=0$, $\vec{i}.\vec{k}=0$ et $||\vec{i}||=||\vec{j}||=||\vec{k}||=1$

Orthogonalité dans l'espace

1 Deux droites sont orthogonales lorsque leurs parallèles respectives passant par un même point sont perpendiculaires.

2 Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux lorsque les droites dirigées par ces vecteurs sont orthogonales.

3 Une droite est orthogonale à un plan lorsqu'elle est orthogonale à toutes les droites de ce plan.

4 Une droite est orthogonale à un plan si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.

Plans orthogonaux dans l'espace

On considère les plans $\mathcal{P_1}$ et $\mathcal{P_2}$. $\vec{n_1}$ est un vecteur normal de $\mathcal{P_1}$ et $\vec{n_2}$ un vecteur normal de $\mathcal{P_2}$.

$\mathcal{P_1}$ et $\mathcal{P_2}$ sont orthogonaux si et seulement si $\vec{n_1}$ et $\vec{n_2}$ sont orthogonaux.

$Plans orthogonaux dans l'espace$

Plans parallèles dans l'espace

On considère les plans $\mathcal{P_1}$ et $\mathcal{P_2}$. $\vec{n_1}$ est un vecteur normal de $\mathcal{P_1}$ et $\vec{n_2}$ un vecteur normal de $\mathcal{P_2}$.

$\mathcal{P_1}$ et $\mathcal{P_2}$ sont parallèles si et seulement si $\vec{n_1}$ et $\vec{n_2}$ sont colinéaires.

$Plans parallèles dans l'espace$

Produit scalaire dans l'espace

Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls de l'espace, leur produit scalaire est défini par:

$$\vec{u}.\vec{v}=||\vec{u}||\times ||\vec{v}||\times \cos(\vec{u}, \vec{v})$$

$Produit scalaire dans l'espace$

Équation cartésienne d'un plan

Soit $\vec{n}(a;~b;~c)$ un vecteur normal à un plan $P$. Alors une équation cartésienne de ce plan est:

$$ax+by+cz+d=0$$

$Équation cartésienne d'un plan$

Distance d'un point à un plan

Soit $\mathcal{P}$ un plan de l'espace et $A$ un point. On note $H$ le projeté orthogonal du point $A$ sur ce plan, et $\vec{n}$ un vecteur normal de $\mathcal{P}$.

1 La distance du point $A$ au plan $\mathcal{P}$ est la plus petite longueur $AM$ avec $M \in \mathcal{P}$

2 En notant $d(A, \mathcal{P})$ la distance du point $A$ au plan $\mathcal{P}$, on a $d(A, \mathcal{P})=AH$

3

Si $\mathcal{P}$ a pour équation $ax+by+cz+d=0$, $A(x_A;~y_A;~z_A)$ et $M(x;~y;~z)$ un point du plan, alors:

$$d(A, \mathcal{P})=\frac{|\overrightarrow{AM}.\vec{n}|}{||\vec{n}||}=\frac{|ax_A+by_A+cz_A+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$

$Distance d'un point à un plan$

Distance d'un point à une droite

Soit $\mathcal{D}$ une droite de l'espace et $A$ un point.

1 La distance du point $A$ à la droite $\mathcal{D}$ est la plus petite longueur $AM$ avec $M \in \mathcal{D}$

2 Soit $H$ le projeté orthogonal du point $A$ sur $\mathcal{D}$. En notant $d(A, \mathcal{D})$ la distance du point $A$ à la droite $\mathcal{D}$, on a $d(A, \mathcal{D})=AH$

$Distance d'un point à une droite$

Résumé du cours

Orthogonalité et distances dans l'espace