Géométrie dans l'espace: partie 2

Exercices, quiz et cours - Niveau Terminale Spécialité.

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4 exercices

Intersection de plans dans l'espace et droite paramétrique

Avancé

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$. On considère les points $A(-1;2;1)$, $B(1;-6;-1)$ et $C(2;2;2)$

  1. Vérifier que les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan.
  2. Montrer que le vecteur $\vec{n} \begin{pmatrix} 1 \\1 \\ -3 \end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
  3. Déterminer une équation cartésienne du plan $(ABC)$.

    4. Soit $P$ le plan d'équation: $x-y+z-4=0$

  4. Montrer que les plans $(ABC)$ et $P$ sont sécants.
  5. Soit $D$ la droite d'intersection des plans $P$ et $(ABC)$. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $D$.

Distance avec un paramètre

Avancé

On considère le cube ABCDEFGH d'arête 1 ci-dessous. Dans tout l'exercice l'espace est rapporté au repère orhonormé $(D; \overrightarrow{DA}; \overrightarrow{DC}; \overrightarrow{DH})$.

  1. Soit $K$ le point tel que $\overrightarrow{KD}+2\overrightarrow{KF}=\vec{0}$. Montrer que les coordonnées de $K$ sont $(\dfrac{2}{3}~;~\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3})$.
  2. Montrer que les droites $(EK)$ et $(DF)$ sont orthogonales.
  3. Calculer la distance $EK$.

    4. Soit $M$ un point du segment $[HG]$. On note $m=HM$ avec $m\in [0;1]$.

  4. Montrer qu'une équation cartésienne du plan $(MFD)$. est $(-1+m)x+y-mz=0$.
  5. Montrer que pour tout réel $m\in [0;1]$ la distance $d_m$ du point $E$ au plan $(MFD)$ est donnée par: $$d_m = \dfrac{1}{\sqrt{2m^2-2m+2}}$$
  6. Déterminer la position de $M$ pour laquelle la distance $d_m$ est maximale.
  7. Montrer que la distance maximale vaut $d_{m}=d(E; (MFD)) = \dfrac{\sqrt{6}}{3} = EK$.
  8. Après avoir rappelé pourquoi le point $K$ appartient à la droite $(FD)$, montrer que lorsque la distance $d_m$ est maximale, $K$ est le projeté orthogonal de $E$ sur le plan $MFD$.

Centre de gravité dans un tétraèdre

Avancé

Dans un tétraèdre, le segment joignant un sommet au centre de gravité de la face opposée est appelée médiane. Ainsi, le segment $[AA']$ est une médiane du tétraèdre $ABCD$ ci-dessous.

PARTIE A

$ABCD$ est un tétraèdre régulier, c'est-à-dire un solide dont les quatre faces sont des triangles équilatéraux. $A'$ est le centre de gravité du triangle $BCD$, c'est à dire le point d'intersection des médianes issues des sommets $B$, $C$, $D$.

  1. En utilisant le point $I$, milieu de $[BD]$, montrer que $\overrightarrow{AA'}.\overrightarrow{BD}=0$
  2. En utilisant le point $J$, milieu de $[BC]$, montrer que $\overrightarrow{AA'}.\overrightarrow{BC}=0$
  3. En déduire que la droite $(AA')$ est perpendiculaire au plan $(BCD)$.

On a prouvé la propriété selon laquelle dans un tétraèdre régulier la médiane issue d'un sommet est orthogonale à la face opposée.

PARTIE B

On munit l'espace d'un repère orthonormal $(O,~\vec{i},~\vec{j},~\vec{k})$. On considère les points $P(1~;~2~;~3)$, $Q(4~;~2~;~- 1)$ et $R(-2~;~3~;~0)$.

  1. Montrer que le tétraèdre $OPQR$ n'est pas régulier.
  2. On rappelle que le centrer de gravité $G$ d'un triangle $ABC$ quelconque vérifie la relation vectorielle: $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$. Calculer les coordonnées de $P'$, centre de gravité du triangle $OQR$.
  3. Vérifier qu'une équation cartésienne du plan $(OQR)$ est: $3x+2y+16z=0.$
  4. La propriété de la partie A est-elle vérifiée?

Intersection entre une sphère et une droite

Avancé

On considère les points $A(-2;~0;~1)$, $B(1;~2;~-1)$ et $C(-2;~2;~2)$. Soit $\cal{S}$ la sphère de centre $\Omega(1;~-3;~1)$ et de rayon $r=3$

    1. Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ puis les longueurs $AB$ et $AC$.
    2. En déduire une valeur approchée arrondie au degré près de l'angle $\widehat{BAC}$.
    3. En déduire la mesure en degrés de l'angle $\widehat{\text{ABC}}$ arrondie au degré.
  2. Donner une équation cartésienne de la sphère $\cal{S}$.

Résumé de cours

Géométrie dans l'espace: partie 2

Orthogonalité et distances dans l'espace

Base de l'espace On appelle base orthonormée de l'espace 3 vecteurs linéairement indépendants $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$ tels que: $\vec{i}.\vec{j}=0$, $\vec{j}.\vec{k}=0$, $\vec{i}.\vec{k}=0$ et $||\vec{i}||=||\vec{j}||=||\vec{k}||=1$
Orthogonalité dans l'espace
  1. Deux droites sont orthogonales lorsque leurs parallèles respectives passant par un même point sont perpendiculaires.
  2. Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux lorsque les droites dirigées par ces vecteurs sont orthogonales.
  3. Une droite est orthogonale à un plan lorsqu'elle est orthogonale à toutes les droites de ce plan.
  4. Une droite est orthogonale à un plan si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.
Plans orthogonaux dans l'espace

On considère les plans $\cal{P_1}$ et $\cal{P_2}$. $\vec{n_1}$ est un vecteur normal de $\cal{P_1}$ et $\vec{n_1}$ un vecteur normal de $\cal{P_2}$.

$\cal{P_1}$ et $\cal{P_2}$ sont orthogonaux si et seulement si $\vec{n_1}$ et $\vec{n_2}$ sont orthogonaux.

Plans parallèles dans l'espace

On considère les plans $\cal{P_1}$ et $\cal{P_2}$. $\vec{n_1}$ est un vecteur normal de $\cal{P_1}$ et $\vec{n_1}$ un vecteur normal de $\cal{P_2}$.

$\cal{P_1}$ et $\cal{P_2}$ sont parallèles si et seulement si $\vec{n_1}$ et $\vec{n_2}$ sont colinéaires.

Produit scalaire dans l'espace Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls de l'espace, leur produit scalaire est défini par: $$\vec{u}.\vec{v}=||\vec{u}||\times ||\vec{v}||\times cos(\vec{u}; \vec{v})$$
Produit scalaire dans l'espace

Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls de l'espace, leur produit scalaire est défini par: $$\vec{u}.\vec{v}=||\vec{u}||\times ||\vec{v}||\times cos(\vec{u}, \vec{v})$$

Equation cartésienne d'un plan

Soit $\vec{n}(a;~b,~c)$ un vecteur normal à un plan $P$. Alors une équation cartésienne de ce plan est: $$ax+by+cz+d=0$$.

Distance d'un point à un plan

Soit $\cal{P}$ un plan de l'espace et $A$ un point. On note $H$ le projeté orthogonal du point $A$ sur ce plan, et $\vec{n}$ un vecteur normal de $\cal{P}$.

  1. La distance du point $A$ au plan $\cal{P}$ est la plus petite longueur $AM$ avec $M \in \cal{P}$
  2. En notant $d(A, \cal{P})$ la distance du point $A$ au plan $\cal{P}$, on a $d(A, \mathcal{P})=AH$
  3. Si $\cal{P}$ a pour équation cartésienne $ac+by+cz+d=0$, $A(x_A;~y_A;~z_A)$ et $M(x;~y;~z)$ un point du plan $\cal{P}$, alors: $$d(A, \mathcal{P})=\frac{|\overrightarrow{AM}.\vec{n}|}{||\vec{n}||}=\frac{|ax_A+by_A+cz_A+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$
Distance d'un point à une droite

Soit $\cal{D}$ une droite de l'espace et $A$ un point.

  1. La distance du point $A$ à la droite $\cal{D}$ est la plus petite longueur $AM$ avec $M \in \cal{D}$
  2. Soit $H$ le projeté orthogonal du point $A$ sur $\cal{D}$. En notant $d(A, \cal{D})$ la distance du point $A$ à la droite $\cal{D}$, on a $d(A, \mathcal{D})=AH$

Solution écrite

Aucune solution écrite pour cet exercice.

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