Combinatoire et dénombrement

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Combinatoire et dénombrement

Ensembles disjoints

Deux ensembles $A$ et $B$ sont disjoints lorsqu'ils n'ont aucun élément commun :

$$A\cap B=\emptyset$$

Exemple : $A=\{1;2;3\}$ et $B=\{4;5\}$ sont disjoints. En revanche $A$ et $C=\{3;6\}$ ne le sont pas ($3$ est commun).

Partie et complémentaire

Partie

$A$ est une partie (ou sous-ensemble) de $E$ si tous les éléments de $A$ sont dans $E$. On note $A\subset E$.

Complémentaire

Si $A\subset E$, le complémentaire $\overline{A}$ (dans $E$) est l'ensemble des éléments de $E$ qui ne sont pas dans $A$.

Exemple : $E=\{1;2;3;4;5\}$ et $A=\{2;4\}$. Alors $\overline{A}=\{1;3;5\}$ et $card(\overline{A})=card(E)-card(A)=3$.

Principe additif

Si $A_1,\ldots,A_n$ sont des ensembles deux à deux disjoints, alors

$$card(A_1\cup \cdots\cup A_n)=card(A_1)+\cdots+card(A_n)$$

Exemple : une urne contient $4$ boules rouges et $7$ boules bleues. Nombre de boules : $4+7=11$ (les deux ensembles de couleurs sont disjoints).

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Résumé de cours

Combinatoire et dénombrement

Ensembles disjoints

Deux ensembles $A$ et $B$ sont disjoints lorsqu'ils n'ont aucun élément commun :

$$A\cap B=\emptyset$$

Exemple : $A=\{1;2;3\}$ et $B=\{4;5\}$ sont disjoints. En revanche $A$ et $C=\{3;6\}$ ne le sont pas ($3$ est commun).

Partie et complémentaire

Partie

$A$ est une partie (ou sous-ensemble) de $E$ si tous les éléments de $A$ sont dans $E$. On note $A\subset E$.

Complémentaire

Si $A\subset E$, le complémentaire $\overline{A}$ (dans $E$) est l'ensemble des éléments de $E$ qui ne sont pas dans $A$.

Exemple : $E=\{1;2;3;4;5\}$ et $A=\{2;4\}$. Alors $\overline{A}=\{1;3;5\}$ et $card(\overline{A})=card(E)-card(A)=3$.

Principe additif

Si $A_1,\ldots,A_n$ sont des ensembles deux à deux disjoints, alors

$$card(A_1\cup \cdots\cup A_n)=card(A_1)+\cdots+card(A_n)$$

Exemple : une urne contient $4$ boules rouges et $7$ boules bleues. Nombre de boules : $4+7=11$ (les deux ensembles de couleurs sont disjoints).

Produit cartésien et principe multiplicatif

$A\times B$ est l'ensemble des couples $(x;y)$ avec $x\in A$ et $y\in B$. On a

$$card(A\times B)=card(A)\times card(B)$$

Exemple

$A=\{a;b\}$, $B=\{1;2;3\}$. Alors $A\times B$ a $2\times 3=6$ couples : $(a;1)$, $(a;2)$, $(a;3)$, $(b;1)$, $(b;2)$, $(b;3)$.

En pratique

« $p$ choix puis $q$ choix indépendants » $\Rightarrow$ $p\times q$ possibilités (arbre, menus, codes…).

$k\text{-uplets (avec répétitions possibles)}$

Un $k$-uplet d'éléments de $E$ est un élément de $E^k=E\times\cdots\times E$ ($k$ facteurs). Si $card(E)=n$,

$$card(E^k)=n^k$$

Exemple : un code PIN à $4$ chiffres (de $0$ à $9$, répétitions autorisées) : $10^4=10\,000$ codes possibles.

Factorielle

Pour $n\in\mathbb{N}^*$,

$$n!=1\times 2\times \cdots\times n\qquad\text{et}\qquad 0!=1$$

Exemple : $5!=120$. On a aussi $n!=n\times(n-1)!$ (utile pour simplifier des quotients de factorielles).

Arrangements

Un arrangement de $k$ éléments parmi $n$ est un $k$-uplet d'éléments distincts (l'ordre compte, pas de répétition).

$$A_n^k=\dfrac{n!}{(n-k)!}=n(n-1)\cdots(n-k+1)$$

Quand l'utiliser ?

Ordre important + éléments distincts (podium, tirage successif sans remise, file d'attente…).

Exemple

Podium (1^er, 2^e, 3^e) parmi $10$ coureurs : $A_{10}^3=10\times 9\times 8=720$.

Permutations

Une permutation de $n$ éléments distincts est un arrangement de ces $n$ éléments (tous les ordres possibles) :

$$P_n=n!$$

Exemple : anagrammes du mot ESPRIT (6 lettres distinctes) : $6!=720$ mots.

Combinaisons

Une combinaison de $k$ éléments parmi $n$ est une partie à $k$ éléments de $E$ (l'ordre ne compte pas, pas de répétition).

$$\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}=\dfrac{A_n^k}{k!}$$

Quand l'utiliser ?

On choisit un groupe, une main, un sous-ensemble : l'ordre des éléments n'a pas d'importance.

Exemple

Choisir un comité de $3$ élèves parmi $12$ : $\dbinom{12}{3}=\dfrac{12\times 11\times 10}{3\times 2\times 1}=220$.

Comment choisir la bonne formule ?

Situation	Ordre ?	Répétitions ?	Formule
Listes / codes	oui	oui	$n^k$
Arrangements	oui	non	$A_n^k$
Permutations	oui	non (tous)	$n!$
Combinaisons	non	non	$\binom{n}{k}$

Astuce Bac : se demander « si j'échange deux éléments, est-ce que ça change le résultat ? ». Oui $\to$ arrangement / permutation. Non $\to$ combinaison.