1. Déterminer une primitive sur $\R$ de la fonction $f:x \mapsto 5x+3$
2. Déterminer une primitive sur $\R$ de la fonction $f:x \mapsto 2e^x-5x^2+\dfrac{x}{2}$
3. La fonction définie par $F:x \mapsto \dfrac{4x+1}{x-2}$ est-elle une primitive de $f:~x \mapsto \dfrac{9}{(x-2)^2}$.
4. La fonction définie par $F:x \mapsto x(ln(x)-1)+5$ est-elle une primitive de $f:~x \mapsto ln(x)$.

Déterminer dans chacun des cas suivants si la fonction proposée est solution de l'équation différentielle qui lui est associée.

1. $f:x \mapsto 3x^2-\dfrac{5}{x}+7$ et $(E):~y'=6x-\dfrac{5}{x^2}$
2. $f:x \mapsto 4x^3-7x^2+8x+1$ et $(E):~y'+y=4x^3+5x^2-6x+9$
3. $f:x \mapsto 3e^{-2x}$ et $(E):~y'=-2y$
4. $f:x \mapsto ln(x^2-x-6)$ et $(E):~y'=\dfrac{2x-1}{x^2-x-6}$

Déterminer dans chacun des cas suivants la primitive de la fonction qui vérifie la condition spécifiée.

1. Trouver la primitive de $f:x \mapsto \dfrac{2}{x}+cos(x)$ qui s'annule en $\pi$
2. Trouver la primitive $G$ de $g:x \mapsto e^{2x}(e^{-x}-e^{x})$ telle que $G(1)=-1$
3. Trouver la primitive $H$ de $h:x \mapsto \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{x^3}$ telle que $H(4)=1$
4. Trouver la primitive $F$ de $f:x \mapsto \dfrac{1}{2x-1}$ telle que $F(2)=0$

Résoudre les équations différentielles suivantes avec la condition spécifiée.

1. $4y'+y=0$ avec $y(2)=3$
2. $5y'-2y=0$ avec $y'(-1)=1$
3. $\dfrac{y'-3y}{2}=-y$ avec $y(0)=4$
4. $\dfrac{2}{3}y'+\dfrac{\sqrt{2}y}{5}=0$ avec $y'(1)=5$

Résoudre les équations différentielles suivantes avec la condition spécifiée.

1. $3y'=6y-5$ avec $y(1)=2$
2. $2y'-3y-3=0$ avec $y(3)=0$
3. $y'+3y-5=2y'-y+1$ avec $y'(0)=5$
4. $3(ey'-y)=\sqrt{2}y+6$ avec $y(0)=-2$

On souhaite prouver le résultat suivant: les solutions des équations différentielles de la forme $(E):~y'=ay+f$ sont les fonctions $$y=Ce^{ax}+\phi(x)~~~~C\in \R$$avec $\phi$ une solution particulière de $(E)$.

1. Soit $g$ une solution de $(E)$. Montrer que la fonction $h$ définie par $h(x)=g(x)-\phi(x)$ est solution de l'équation $(E_0):~y'=ay$.
2. Réciproquement, si $h$ est solution de $(E_0)$ montrer que $g=h+\phi$ est solution de $(E)$.
3. Conclure

On considère l'équation différentielle$$(E):~y'+4y=8x^2-4x+3$$

1. On considère une solution particulière de $(E)$ de la forme $ax^2+bx+c$.
   Montrer que $a=2$, $b=-2$ et $c=\dfrac{5}{4}$.
2. Résoudre l'équation différentielle $(E_0):~y'+4y=0$
3. En déduire la solution de $(E)$ telle que $y(0)=2$.

On considère l'équation différentielle $$(E)~~y''-y=0$$où $y$ est une fonction définie et deux fois dérivable sur l'ensemble $\R$.

1. Déterminer les réels $r$ tels que la fonction $h$ définie par $h(x)=e^{rx}$ soit solution de $(E)$.
2. Vérifier que les fonctions $\phi$ définies par $\phi(x)=\alpha e^x+\beta e^{-x}$, où $\alpha$ et $\beta$ sont deux nombres réels, sont des solutions de $(E)$. On admet qu'on obtient ainsi toutes les solutions de $(E)$.
3. Déterminer la solution particulière de $(E)$ dont la courbe représentative passe par le point de coordonnées $(ln(2);~\dfrac{3}{4})$ et admet en ce point une tangente dont le coefficient directeur est $\dfrac{5}{4}$.

Déterminer les primitives des fonctions suivantes sur $\R$.

1. $f(x)=\dfrac{3x^2-4x+5}{x^3}$
2. $g(x)=\dfrac{e^x}{e^x+1}$
3. $h(x)=sin(3x)-cos(\dfrac{x}{2})+2x$
4. $j(x)=4e^{-3x}+5xe^{x^2}+\dfrac{7}{\sqrt{x}}$

On fait absorber à un animal un médicament dosé à 1 mg de principe actif. Ce médicament libère peu à peu le principe actif qui passe dans le sang. On appelle $g(t)$ la quantité de principe actif, exprimée en mg, présente dans le sang à l'instant $t$ exprimé en heures ($t\geq 0$).
On constate expérimentalement que la fonction $g$ est solution de l'équation différentielle:$$(E):~~y'+\frac{1}{2}y=\frac{1}{2}e^{-\frac{1}{2}t}$$

1. On considère l'équation différentielle: $$(E'):~~y'+\frac{1}{2}y=0$$ Déterminer le réel $a$ pour que la fonction $u$ définie par l'équation $u(t)=ate^{-\frac{1}{2}t}$ soit solution de $(E)$.
2. Montrer qu'une fonction $v$ est solution de $(E)$ si et seulement si la fonction $h=v-u$ est solution de l'équation $(E')$.
3. Résoudre l'équation $(E')$.
4. En déduire les solutions de l'équation $(E)$.

On cherche une primitive de la fonction $f$ définie sur $[0;~+\infin[$ par: $$f(x)=\dfrac{ln(e^{2x}-1)}{e^x}$$

1. Vérifier que $f$ est solution de l'équation différentielle: $$y'+y=\dfrac{e^x}{e^x-1}-\dfrac{e^x}{e^x+1}$$
2. On pose $h(x)=\dfrac{e^x}{e^x-1}-\dfrac{e^x}{e^x+1}$.
   1. Trouver une primitive $H$ de $h$ sur l'intervalle $]0;~+\infin[$.
   2. En déduire les primitives $F$ de $f$ sur l'intervalle $]0;~+\infin[$.