On souhaite prouver le résultat suivant: les solutions des équations différentielles de la forme $(E):~y'=ay+f$ sont les fonctions $$y=Ce^{ax}+\phi(x)~~~~C\in \R$$avec $\phi$ une solution particulière de $(E)$.

1. Soit $g$ une solution de $(E)$. Montrer que la fonction $h$ définie par $h(x)=g(x)-\phi(x)$ est solution de l'équation $(E_0):~y'=ay$.
2. Réciproquement, si $h$ est solution de $(E_0)$ montrer que $g=h+\phi$ est solution de $(E)$.
3. Conclure

On considère l'équation différentielle$$(E):~y'+4y=8x^2-4x+3$$

1. On considère une solution particulière de $(E)$ de la forme $ax^2+bx+c$.
   Montrer que $a=2$, $b=-2$ et $c=\dfrac{5}{4}$.
2. Résoudre l'équation différentielle $(E_0):~y'+4y=0$
3. En déduire la solution de $(E)$ telle que $y(0)=2$.

On considère l'équation différentielle $$(E)~~y''-y=0$$où $y$ est une fonction définie et deux fois dérivable sur l'ensemble $\R$.

1. Déterminer les réels $r$ tels que la fonction $h$ définie par $h(x)=e^{rx}$ soit solution de $(E)$.
2. Vérifier que les fonctions $\phi$ définies par $\phi(x)=\alpha e^x+\beta e^{-x}$, où $\alpha$ et $\beta$ sont deux nombres réels, sont des solutions de $(E)$. On admet qu'on obtient ainsi toutes les solutions de $(E)$.
3. Déterminer la solution particulière de $(E)$ dont la courbe représentative passe par le point de coordonnées $(ln(2);~\dfrac{3}{4})$ et admet en ce point une tangente dont le coefficient directeur est $\dfrac{5}{4}$.

Déterminer les primitives des fonctions suivantes sur $\R$.

1. $f(x)=\dfrac{3x^2-4x+5}{x^3}$
2. $g(x)=\dfrac{e^x}{e^x+1}$
3. $h(x)=sin(3x)-cos(\dfrac{x}{2})+2x$
4. $j(x)=4e^{-3x}+5xe^{x^2}+\dfrac{7}{\sqrt{x}}$

On fait absorber à un animal un médicament dosé à 1 mg de principe actif. Ce médicament libère peu à peu le principe actif qui passe dans le sang. On appelle $g(t)$ la quantité de principe actif, exprimée en mg, présente dans le sang à l'instant $t$ exprimé en heures ($t\geq 0$).
On constate expérimentalement que la fonction $g$ est solution de l'équation différentielle:$$(E):~~y'+\frac{1}{2}y=\frac{1}{2}e^{-\frac{1}{2}t}$$

1. On considère l'équation différentielle: $$(E'):~~y'+\frac{1}{2}y=0$$ Déterminer le réel $a$ pour que la fonction $u$ définie par l'équation $u(t)=ate^{-\frac{1}{2}t}$ soit solution de $(E)$.
2. Montrer qu'une fonction $v$ est solution de $(E)$ si et seulement si la fonction $h=v-u$ est solution de l'équation $(E')$.
3. Résoudre l'équation $(E')$.
4. En déduire les solutions de l'équation $(E)$.

On cherche une primitive de la fonction $f$ définie sur $[0;~+\infin[$ par: $$f(x)=\dfrac{ln(e^{2x}-1)}{e^x}$$

1. Vérifier que $f$ est solution de l'équation différentielle: $$y'+y=\dfrac{e^x}{e^x-1}-\dfrac{e^x}{e^x+1}$$
2. On pose $h(x)=\dfrac{e^x}{e^x-1}-\dfrac{e^x}{e^x+1}$.
   1. Trouver une primitive $H$ de $h$ sur l'intervalle $]0;~+\infin[$.
   2. En déduire les primitives $F$ de $f$ sur l'intervalle $]0;~+\infin[$.

On considère l'équation différentielle:$$(E):~y'=2y+cos(x)$$

1. Déterminer deux nombres réels $a$ et $b$ tels que la fonction $f_0$ définie sur $\R$ par: $$f_{0}(x)=acos(x)+bsin(x)$$ soit une solution $f_0$ de $(E)$.
2. Résoudre l'équation différentielle $(E_0):~y'=2y$.
3. Démontrer que $f$ est solution de $(E)$ si et seulement si $f-f_0$ est solution de $(E_0)$.
4. En déduire les solutions de $(E)$.
5. Déterminer la solution $k$ de $(E)$ vérifiant $k(\frac{\pi}{2})=0$.

Un chariot de masse 200 kg se déplace sur une voie rectiligne et horizontale. Il est soumis à une force d'entraînement constante $\vec{F}$ de valeur 50 N.
Les forces de frottement sont proportionnelles à la vitesse et de sens contraire; le coefficient de proportionnalité a pour valeur absolue $25~N.m^{-1}.s$.
La position du chariot est repérée par la distance $x$, en mètres, du point $H$ à l'origine $O$ du repère en fonction du temps $t$, exprimé en secondes. On prendra $t$ dans l'intervalle $[0;~+\infin[$. Les lois de Newton conduisent à l'équation différentielle du mouvement: $$(E)~~25x'+200x''=50,~où$$ $x'$ est la dérivé de $x$ par rapport au temps $t$,
$x''$ est la dérivé seconde de $x$ par rapport au temps $t$.

1. On note $v(t)$ la vitesse du chariot au temps $t$; on rappelle que $v(t)=x'(t)$.
   Prouver que $x$ est solution de $(E)$ si et seulement si $x'$ est solution de l'équation différentielle $$(F)~~v'=-\dfrac{1}{8}v+\dfrac{1}{4}$$
2. On suppose que, à l'instant $t=0$, on a: $x(0)=0$ et $x'(0)=0$.
   1. Calculer, pour tout nombre réel $t$ positif, $x'(t)$.
   2. En déduire que l'on a, pour tout nombre réel $t$ positif:$$x(t)=2t-16+16e^{\frac{-t}{8}}$$
3. Calculer $V=\lim\limits_{t \to +\infin }v(t)$. Pour quelles valeurs de $t$ la vitesse du chariot est-elle inférieure ou égale à $90%$ de sa valeur limite $V$?
4. Quelle est la distance parcourue par le chariot au bout de 30 secondes? On exprimera cette distance en mètres, au décimètre près.

On considère la fonction $f$ définie par:$$f(x)=\dfrac{x^2+2x+5}{x^2-3x+2}$$

1. Montrer que $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$
2. Déterminer deux nombres réels $a$ et $b$ tels que:$$f(x)=1+\dfrac{a}{x-1}+\dfrac{b}{x-2}$$
3. Déterminer une primitive de $f$ sur $]-1;~+\infin[$.
4. En utilisant cette méthode, déterminer une primitive de la fonction $g(x)=\dfrac{1}{x^2-1}$ sur l'intervalle $]1;~+\infin[$

Soit $g(x)$ le nombre, exprimé en millions, de personnes qui possèdent un smartphone.
On pose $x=0$ en 2008, $g(0)=1$ et $g$ est une solution qui ne s'annule pas sur $[0;~+\infin[$, de l'équation différentielle: $$(E):~y'=\dfrac{1}{20}y(10-y)$$

1. On considère une fonction $y$ qui ne s'annule pas sur $[0;~+\infin[$ et on pose $z=\dfrac{1}{y}$
   1. Montrer que $y$ est solution de $(E)$ si et seulement si $z$ est solution de l'équation différentielle: $$(E_1):~~z'=-\dfrac{1}{2}z+\dfrac{1}{20}$$
   2. Résoudre l'équation $(E_1)$ et en déduire les solutions de l'équation $(E)$.
2. Montrer que $g$ est définie sur $[0;~+\infin[$ par $g(x)=\dfrac{10}{9e^{-\frac{1}{2}x}+1}$.
3. Étudier les variations de $g$ sur $[0;~+\infin[$.
4. Calculer la limite de $g$ en $+\infin$ et interpréter le résultat.
5. En quelle année selon ce modèle le nombre de personnes possédant un smartphone dépassera-t'il 5 millions?