Primitives et équations différentielles

Exercices, évaluations et cours - Niveau Terminale Spécialité.

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  2. 2. Exercices — t’entraîner par niveau
  3. 3. Évaluations — te tester (quiz / contrôles)
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Basique

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5 exercices

Primitives de fonctions usuelles

Basique Premium
  1. Déterminer une primitive sur $\R$ de la fonction $f:x \mapsto 5x+3$
  2. Déterminer une primitive sur $\R$ de la fonction $f:x \mapsto 2e^x-5x^2+\dfrac{x}{2}$
  3. La fonction définie par $F:x \mapsto \dfrac{4x+1}{x-2}$ est-elle une primitive de $f:~x \mapsto \dfrac{9}{(x-2)^2}$.
  4. La fonction définie par $F:x \mapsto x(ln(x)-1)+5$ est-elle une primitive de $f:~x \mapsto ln(x)$.
Aide

Vérifier qu'une fonction est solution d'une équation différentielle

Basique Premium

Déterminer dans chacun des cas suivants si la fonction proposée est solution de l'équation différentielle qui lui est associée.

  1. $f:x \mapsto 3x^2-\dfrac{5}{x}+7$ et $(E):~y'=6x-\dfrac{5}{x^2}$
  2. $f:x \mapsto 4x^3-7x^2+8x+1$ et $(E):~y'+y=4x^3+5x^2-6x+9$
  3. $f:x \mapsto 3e^{-2x}$ et $(E):~y'=-2y$
  4. $f:x \mapsto ln(x^2-x-6)$ et $(E):~y'=\dfrac{2x-1}{x^2-x-6}$
Aide

Des primitives spécifiques

Basique Premium

Déterminer dans chacun des cas suivants la primitive de la fonction qui vérifie la condition spécifiée.

  1. Trouver la primitive de $f:x \mapsto \dfrac{2}{x}+cos(x)$ qui s'annule en $\pi$
  2. Trouver la primitive $G$ de $g:x \mapsto e^{2x}(e^{-x}-e^{x})$ telle que $G(1)=-1$
  3. Trouver la primitive $H$ de $h:x \mapsto \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{x^3}$ telle que $H(4)=1$
  4. Trouver la primitive $F$ de $f:x \mapsto \dfrac{1}{2x-1}$ telle que $F(2)=0$
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Équations différentielles de la forme $y'=ay$

Basique Premium

Résoudre les équations différentielles suivantes avec la condition spécifiée.

  1. $4y'+y=0$ avec $y(2)=3$
  2. $5y'-2y=0$ avec $y'(-1)=1$
  3. $\dfrac{y'-3y}{2}=-y$ avec $y(0)=4$
  4. $\dfrac{2}{3}y'+\dfrac{\sqrt{2}y}{5}=0$ avec $y'(1)=5$
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Équations différentielles de la forme $y'=ay+b$

Basique Premium

Résoudre les équations différentielles suivantes avec la condition spécifiée.

  1. $3y'=6y-5$ avec $y(1)=2$
  2. $2y'-3y-3=0$ avec $y(3)=0$
  3. $y'+3y-5=2y'-y+1$ avec $y'(0)=5$
  4. $3(ey'-y)=\sqrt{2}y+6$ avec $y(0)=-2$
Aide

Résumé de cours

Primitives et équations différentielles

Primitives et équations différentielles

$\text{Primitive d'une fonction }f\text{ sur un intervalle }I$
$F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle $I$ si et seulement si $F$ est dérivable sur $I$ avec $F'=f$.
$\text{Équation différentielle }y'=f$
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$. Résoudre l'équation différentielle $y'=f$ c'est trouver toutes les fonctions $F$ dérivables sur $I$ telles que $F'=f$. Cela revient à trouver les primitives de $f$ sur $I$.
Primitives usuelles
Fonction Primitive Intervalle
$f(x)=a$ $F(x)=ax$ $\mathbb{R}$
$f(x)=x$ $F(x)=\dfrac{x^2}{2}$ $\mathbb{R}$
$f(x)=x^n$ $F(x)=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ $\mathbb{R}$
$f(x)=\dfrac{1}{x}$ $F(x)=\ln(x)$ $]0;~+\infty[$
$f(x)=\dfrac{1}{x^n}$ $F(x)=-\dfrac{1}{(n-1)x^{n-1}}$ $\mathbb{R} \setminus \{0\}$
$f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ $F(x)=2\sqrt{x}$ $]0;~+\infty[$
$f(x)=\sin(x)$ $F(x)=-\cos(x)$ $\mathbb{R}$
$f(x)=\cos(x)$ $F(x)=\sin(x)$ $\mathbb{R}$
$f(x)=e^x$ $F(x)=e^x$ $\mathbb{R}$
Primitives et opérations
Fonction Primitive Intervalle
$f+g$ $F+G$ $D_f \cap D_g$
$kf$, $k\in \mathbb{R}$ $kF$ $D_f$
Primitives et composition
Fonction Primitive Intervalle
$u'.u^n$ $\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$ $D_u$
$\dfrac{u'}{\sqrt{u}}$ $2\sqrt{u}$ $D_u \cap u > 0$
$\dfrac{u'}{u^2}$ $-\dfrac{1}{u}$ $D_u \cap u \neq 0$
$u'.e^u$ $e^u$ $D_u$
$\dfrac{u'}{u}$ $\ln|u|$ $D_u \cap u \neq 0$
$u'.\sin(u)$ $-\cos(u)$ $D_u$
$u'.\cos(u)$ $\sin(u)$ $D_u$
$\text{Équation différentielle }y'=ay$
Les solutions de l'équation différentielle $y'=ay$ sont les fonctions: $$y(x)=Ce^{ax}~~~C\in \mathbb{R}$$
$\text{Équation différentielle }y'=ay+b$
Les solutions de l'équation différentielle $y'=ay+b$ sont les fonctions: $$y(x)=Ce^{ax}-\dfrac{b}{a}~~~C\in \mathbb{R}$$
$\text{Équation différentielle }y'=ay+f$
Les solutions de l'équation différentielle $(E)~~y'=ay+f$ sont les fonctions: $$y(x)=Ce^{ax}+\phi(x)~~~C\in \mathbb{R}$$ avec $\phi$ une solution particulière de $(E)$

Solution écrite

Aucune solution écrite pour cet exercice.

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