1. Déterminer une primitive sur $\R$ de la fonction $f:x \mapsto 5x+3$
2. Déterminer une primitive sur $\R$ de la fonction $f:x \mapsto 2e^x-5x^2+\dfrac{x}{2}$
3. La fonction définie par $F:x \mapsto \dfrac{4x+1}{x-2}$ est-elle une primitive de $f:~x \mapsto \dfrac{9}{(x-2)^2}$.
4. La fonction définie par $F:x \mapsto x(ln(x)-1)+5$ est-elle une primitive de $f:~x \mapsto ln(x)$.

Déterminer dans chacun des cas suivants si la fonction proposée est solution de l'équation différentielle qui lui est associée.

1. $f:x \mapsto 3x^2-\dfrac{5}{x}+7$ et $(E):~y'=6x-\dfrac{5}{x^2}$
2. $f:x \mapsto 4x^3-7x^2+8x+1$ et $(E):~y'+y=4x^3+5x^2-6x+9$
3. $f:x \mapsto 3e^{-2x}$ et $(E):~y'=-2y$
4. $f:x \mapsto ln(x^2-x-6)$ et $(E):~y'=\dfrac{2x-1}{x^2-x-6}$

Déterminer dans chacun des cas suivants la primitive de la fonction qui vérifie la condition spécifiée.

1. Trouver la primitive de $f:x \mapsto \dfrac{2}{x}+cos(x)$ qui s'annule en $\pi$
2. Trouver la primitive $G$ de $g:x \mapsto e^{2x}(e^{-x}-e^{x})$ telle que $G(1)=-1$
3. Trouver la primitive $H$ de $h:x \mapsto \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{x^3}$ telle que $H(4)=1$
4. Trouver la primitive $F$ de $f:x \mapsto \dfrac{1}{2x-1}$ telle que $F(2)=0$

Résoudre les équations différentielles suivantes avec la condition spécifiée.

1. $4y'+y=0$ avec $y(2)=3$
2. $5y'-2y=0$ avec $y'(-1)=1$
3. $\dfrac{y'-3y}{2}=-y$ avec $y(0)=4$
4. $\dfrac{2}{3}y'+\dfrac{\sqrt{2}y}{5}=0$ avec $y'(1)=5$

Résoudre les équations différentielles suivantes avec la condition spécifiée.

1. $3y'=6y-5$ avec $y(1)=2$
2. $2y'-3y-3=0$ avec $y(3)=0$
3. $y'+3y-5=2y'-y+1$ avec $y'(0)=5$
4. $3(ey'-y)=\sqrt{2}y+6$ avec $y(0)=-2$

On considère l'équation différentielle:$$(E):~y'=2y+cos(x)$$

1. Déterminer deux nombres réels $a$ et $b$ tels que la fonction $f_0$ définie sur $\R$ par: $$f_{0}(x)=acos(x)+bsin(x)$$ soit une solution $f_0$ de $(E)$.
2. Résoudre l'équation différentielle $(E_0):~y'=2y$.
3. Démontrer que $f$ est solution de $(E)$ si et seulement si $f-f_0$ est solution de $(E_0)$.
4. En déduire les solutions de $(E)$.
5. Déterminer la solution $k$ de $(E)$ vérifiant $k(\frac{\pi}{2})=0$.

Un chariot de masse 200 kg se déplace sur une voie rectiligne et horizontale. Il est soumis à une force d'entraînement constante $\vec{F}$ de valeur 50 N.
Les forces de frottement sont proportionnelles à la vitesse et de sens contraire; le coefficient de proportionnalité a pour valeur absolue $25~N.m^{-1}.s$.
La position du chariot est repérée par la distance $x$, en mètres, du point $H$ à l'origine $O$ du repère en fonction du temps $t$, exprimé en secondes. On prendra $t$ dans l'intervalle $[0;~+\infin[$. Les lois de Newton conduisent à l'équation différentielle du mouvement: $$(E)~~25x'+200x''=50,~où$$ $x'$ est la dérivé de $x$ par rapport au temps $t$,
$x''$ est la dérivé seconde de $x$ par rapport au temps $t$.

1. On note $v(t)$ la vitesse du chariot au temps $t$; on rappelle que $v(t)=x'(t)$.
   Prouver que $x$ est solution de $(E)$ si et seulement si $x'$ est solution de l'équation différentielle $$(F)~~v'=-\dfrac{1}{8}v+\dfrac{1}{4}$$
2. On suppose que, à l'instant $t=0$, on a: $x(0)=0$ et $x'(0)=0$.
   1. Calculer, pour tout nombre réel $t$ positif, $x'(t)$.
   2. En déduire que l'on a, pour tout nombre réel $t$ positif:$$x(t)=2t-16+16e^{\frac{-t}{8}}$$
3. Calculer $V=\lim\limits_{t \to +\infin }v(t)$. Pour quelles valeurs de $t$ la vitesse du chariot est-elle inférieure ou égale à $90%$ de sa valeur limite $V$?
4. Quelle est la distance parcourue par le chariot au bout de 30 secondes? On exprimera cette distance en mètres, au décimètre près.

On considère la fonction $f$ définie par:$$f(x)=\dfrac{x^2+2x+5}{x^2-3x+2}$$

1. Montrer que $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$
2. Déterminer deux nombres réels $a$ et $b$ tels que:$$f(x)=1+\dfrac{a}{x-1}+\dfrac{b}{x-2}$$
3. Déterminer une primitive de $f$ sur $]-1;~+\infin[$.
4. En utilisant cette méthode, déterminer une primitive de la fonction $g(x)=\dfrac{1}{x^2-1}$ sur l'intervalle $]1;~+\infin[$

Soit $g(x)$ le nombre, exprimé en millions, de personnes qui possèdent un smartphone.
On pose $x=0$ en 2008, $g(0)=1$ et $g$ est une solution qui ne s'annule pas sur $[0;~+\infin[$, de l'équation différentielle: $$(E):~y'=\dfrac{1}{20}y(10-y)$$

1. On considère une fonction $y$ qui ne s'annule pas sur $[0;~+\infin[$ et on pose $z=\dfrac{1}{y}$
   1. Montrer que $y$ est solution de $(E)$ si et seulement si $z$ est solution de l'équation différentielle: $$(E_1):~~z'=-\dfrac{1}{2}z+\dfrac{1}{20}$$
   2. Résoudre l'équation $(E_1)$ et en déduire les solutions de l'équation $(E)$.
2. Montrer que $g$ est définie sur $[0;~+\infin[$ par $g(x)=\dfrac{10}{9e^{-\frac{1}{2}x}+1}$.
3. Étudier les variations de $g$ sur $[0;~+\infin[$.
4. Calculer la limite de $g$ en $+\infin$ et interpréter le résultat.
5. En quelle année selon ce modèle le nombre de personnes possédant un smartphone dépassera-t'il 5 millions?