Loi binomiale

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Loi Binomiale

Épreuve de Bernoulli

Une expérience aléatoire qui a exactement 2 issues appelées succès et échec

Loi de Bernoulli

On considère une épreuve de Bernoulli et on note $X$ la variable aléatoire qui vaut 1 en cas de succès et 0 en cas d'échec. Soit $p$ la probabilité telle que $P(X=1)=p$. On dit que $X$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$

$k$	$1$	$0$
$P(X=k)$	$p$	$1-p$

$Épreuve de Bernoulli$

Propriétés de la loi de Bernoulli

Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi de Bernoulli de paramètre $p$

Espérance

$E(X) = p$

Variance

$V(X) = p(1-p)$

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Résumé de cours

Loi binomiale

Loi Binomiale

Épreuve de Bernoulli

Une expérience aléatoire qui a exactement 2 issues appelées succès et échec

Loi de Bernoulli

$k$	$1$	$0$
$P(X=k)$	$p$	$1-p$

$Épreuve de Bernoulli$

Propriétés de la loi de Bernoulli

Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi de Bernoulli de paramètre $p$

Espérance

$E(X) = p$

Variance

$V(X) = p(1-p)$

Schéma de Bernoulli

On considère une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ avec $0\leq p\leq 1$. Si on répète $n$ fois cette épreuve de Bernoulli de façon indépendante on obtient alors un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$.

$Schéma de Bernoulli$

Loi Binomiale

Une variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de succès dans un schéma de Bernoulli de $n$ épreuves avec probabilité de succès $p$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$. On note $X \sim B(n;p)$.

Dans le cas où $X$ suit la loi $B(n;p)$, la probabilité d'obtenir $k$ succès avec $0\leq k \leq n$ vaut:

$$P(X=k)=\binom{n}{k}p^k (1-p)^{n-k}$$

Propriétés de la loi binomiale

Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi $B(n;p)$

Espérance

$E(X) = np$

Variance

$V(X) = np(1-p)$

Écart-type

$\sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}$