Limites de fonctions

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Limites de Fonctions

$\text{Limite }+\infty\text{ en }+\infty$

Si pour tout $A\in \mathbb{R}$ il existe un nombre $x_0$ tel que $f(x)\in ]A;+\infty[$ si $x\geq x_0$, alors on dit que

$$\lim_{x \to +\infty}f(x)=+\infty$$

$\text{Fonctions de référence }(+\infty)$

$x\mapsto x^n$ avec $n\in \mathbb{N}^*$, $x\mapsto \sqrt{x}$, $x\mapsto e^{x}$ ont pour limite $+\infty$ en $+\infty$

$\text{Limite }-\infty\text{ en }+\infty$

Si pour tout $A\in \mathbb{R}$ il existe un nombre $x_0$ tel que $f(x)\in ]-\infty;A[$ si $x\geq x_0$, alors on dit que

$$\lim_{x \to +\infty}f(x)=-\infty$$

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Limites de fonctions

Limites de Fonctions

$\text{Limite }+\infty\text{ en }+\infty$

Si pour tout $A\in \mathbb{R}$ il existe un nombre $x_0$ tel que $f(x)\in ]A;+\infty[$ si $x\geq x_0$, alors on dit que

$$\lim_{x \to +\infty}f(x)=+\infty$$

$\text{Fonctions de référence }(+\infty)$

$x\mapsto x^n$ avec $n\in \mathbb{N}^*$, $x\mapsto \sqrt{x}$, $x\mapsto e^{x}$ ont pour limite $+\infty$ en $+\infty$

$\text{Limite }-\infty\text{ en }+\infty$

Si pour tout $A\in \mathbb{R}$ il existe un nombre $x_0$ tel que $f(x)\in ]-\infty;A[$ si $x\geq x_0$, alors on dit que

$$\lim_{x \to +\infty}f(x)=-\infty$$

$\text{Fonctions de référence }(-\infty)$

$x\mapsto -x^n$ avec $n\in \mathbb{N}^*$, $x\mapsto -\sqrt{x}$, $x\mapsto -e^{x}$ ont pour limite $-\infty$ en $+\infty$

$\text{Limite finie en }+\infty$

Dire que

$$\lim_{x \to +\infty}f(x)=l$$

signifie que pour tout intervalle ouvert contenant $l$ on peut trouver une valeur de $x$ à partir de laquelle toutes les valeurs de $f(x)$ appartiennent à cet intervalle ouvert.

Fonctions de référence (limite 0)

$x\mapsto \frac{1}{x^n}$ avec $n\in \mathbb{N}^*$, $x\mapsto \frac{1}{\sqrt{x}}$ ont pour limite $0$ en $+\infty$

$\text{Limite infinie en }a\in \mathbb{R}$

Dire qu'une fonction $f$ a pour limite $+\infty$ en $a$ signifie que tout intervalle de la forme $]A ; +\infty[$ (avec $A$ un nombre réel) contient toutes les valeurs $f(x)$ pour $x$ assez proche de $a$. On note

$$\lim_{x \to a}f(x)=+\infty$$

Exemples de limites

$$\lim_{x \to a^+}\frac{1}{x-a}=+\infty$$

$$\lim_{x \to a^-}\frac{1}{x-a}=-\infty$$

$$\lim_{x \to a}\frac{1}{(x-a)^2}=+\infty$$

Asymptote horizontale

La droite d'équation $y=l$ est une asymptote horizontale à la courbe représentative de $f$ en $+\infty$ ou en $-\infty$ si

$$\lim_{x \to +\infty}f(x)=l\quad\text{ou}\quad\lim_{x \to -\infty}f(x)=l$$

Asymptote verticale

$$\text{Si }\lim_{x \to a}f(x)=+\infty\text{ ou }\lim_{x \to a}f(x)=-\infty\text{, la droite }x=a\text{ est asymptote verticale}$$

Somme de limites

$\lim f(x)$	$l$	$l$	$l$	$+\infty$	$+\infty$	$-\infty$
$\lim g(x)$	$l'$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$
$\lim (f+g)(x)$	$l+l'$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	Forme indét.	$-\infty$

Produit de limites

$\lim f(x)$	$l$	$l > 0$	$l > 0$	$l < 0$	$l < 0$	$+\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$0$
$\lim g(x)$	$l'$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$	$±\infty$
$\lim (f \times g)(x)$	$l \times l'$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	F.I.

Quotient de limites

$\lim f(x)$	$l$	$l$	$+\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$	$±\infty$
$\lim g(x)$	$l'≠0$	$±\infty$	$l' > 0$	$l' < 0$	$l' > 0$	$l' < 0$	$±\infty$
$\lim \frac{f(x)}{g(x)}$	$\frac{l}{l'}$	$0$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$	$+\infty$	F.I.

Théorème de comparaison

Soient 2 fonctions $f$, $g$ telles que $f(x)\geq g(x)$ pour $x$ assez grand

$$\text{Si }\lim_{x \to +\infty} g(x)=+\infty\text{ alors }\lim_{x \to +\infty} f(x)=+\infty$$

Théorème des gendarmes

Soient 3 fonctions $f$, $g$, $h$ telles que $f(x)\leq g(x)\leq h(x)$ pour $x$ assez grand

$$\text{Si }\lim_{x \to +\infty} f(x)=l\text{ et }\lim_{x \to +\infty} h(x)=l\text{ alors }\lim_{x \to +\infty} g(x)=l$$