Géométrie dans l'espace — Partie 1

Vecteurs colinéaires

Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ (avec $\vec{v}\neq \vec{0}$) sont colinéaires s'il existe $\lambda\in\mathbb{R}$ tel que :

$$\vec{u}=\lambda\vec{v}$$

En coordonnées

$\vec{u}=(x;y;z)$ et $\vec{v}=(x';y';z')$ sont colinéaires $\iff$ leurs coordonnées sont proportionnelles.

Exemple

$\vec{u}=(2;4;-6)$ et $\vec{v}=(1;2;-3)$ : $\vec{u}=2\vec{v}$, donc colinéaires. En revanche $\vec{w}=(1;2;0)$ n'est pas colinéaire à $\vec{v}$.

Combinaison linéaire

Un vecteur $\vec{u}$ est une combinaison linéaire de $\vec{v}$ et $\vec{w}$ s'il existe $t,t'\in\mathbb{R}$ tels que :

$$\vec{u}=t\vec{v}+t'\vec{w}$$

En pratique

On résout le système obtenu en égalant les trois coordonnées.

Exemple

$\vec{v}=(1;0;0)$, $\vec{w}=(0;1;0)$, $\vec{u}=(2;3;0)$ : $\vec{u}=2\vec{v}+3\vec{w}$.

Vecteurs coplanaires

Trois vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont coplanaires si l'un est combinaison linéaire des deux autres.

Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont non colinéaires : $\vec{w}$ est coplanaire à $\vec{u},\vec{v}$ $\iff$ $\vec{w}=t\vec{u}+t'\vec{v}$ pour certains $t,t'$.

Sinon (système incompatible) : les trois vecteurs ne sont pas coplanaires.

Exemple : $\vec{u}=(1;0;0)$, $\vec{v}=(0;1;0)$, $\vec{w}=(1;1;0)$ sont coplanaires ($\vec{w}=\vec{u}+\vec{v}$). Avec $\vec{w}'=(0;0;1)$, le système est incompatible : non coplanaires.

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Géométrie dans l'espace — Partie 1

Vecteurs colinéaires

Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ (avec $\vec{v}\neq \vec{0}$) sont colinéaires s'il existe $\lambda\in\mathbb{R}$ tel que :

$$\vec{u}=\lambda\vec{v}$$

En coordonnées

$\vec{u}=(x;y;z)$ et $\vec{v}=(x';y';z')$ sont colinéaires $\iff$ leurs coordonnées sont proportionnelles.

Exemple

$\vec{u}=(2;4;-6)$ et $\vec{v}=(1;2;-3)$ : $\vec{u}=2\vec{v}$, donc colinéaires. En revanche $\vec{w}=(1;2;0)$ n'est pas colinéaire à $\vec{v}$.

Combinaison linéaire

Un vecteur $\vec{u}$ est une combinaison linéaire de $\vec{v}$ et $\vec{w}$ s'il existe $t,t'\in\mathbb{R}$ tels que :

$$\vec{u}=t\vec{v}+t'\vec{w}$$

En pratique

On résout le système obtenu en égalant les trois coordonnées.

Exemple

$\vec{v}=(1;0;0)$, $\vec{w}=(0;1;0)$, $\vec{u}=(2;3;0)$ : $\vec{u}=2\vec{v}+3\vec{w}$.

Vecteurs coplanaires

Trois vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont coplanaires si l'un est combinaison linéaire des deux autres.

Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont non colinéaires : $\vec{w}$ est coplanaire à $\vec{u},\vec{v}$ $\iff$ $\vec{w}=t\vec{u}+t'\vec{v}$ pour certains $t,t'$.

Sinon (système incompatible) : les trois vecteurs ne sont pas coplanaires.

Exemple : $\vec{u}=(1;0;0)$, $\vec{v}=(0;1;0)$, $\vec{w}=(1;1;0)$ sont coplanaires ($\vec{w}=\vec{u}+\vec{v}$). Avec $\vec{w}'=(0;0;1)$, le système est incompatible : non coplanaires.

Linéairement indépendants

Trois vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ sont linéairement indépendants lorsque :

Définition

$$a\vec{u}+b\vec{v}+c\vec{w}=\vec{0}\implies a=b=c=0$$

Équivalent

Aucun n'est combinaison linéaire des deux autres (ils ne sont pas coplanaires).

Exemple : $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ est une famille indépendante. Deux vecteurs non nuls sont indépendants $\iff$ ils ne sont pas colinéaires.

Base de l'espace

Trois vecteurs forment une base de l'espace s'ils sont linéairement indépendants (équivaut à : non coplanaires).

Conséquence

Tout vecteur $\vec{w}$ de l'espace s'écrit de façon unique $\vec{w}=x\vec{u}+y\vec{v}+z\vec{t}$.

Repère

Un repère de l'espace est un point $O$ + une base $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ : $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$. Sur un cube $ABCDEFGH$, on prend souvent $A$ et $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE})$.

Points alignés

Trois points $A$, $B$, $C$ sont alignés $\iff$ $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.

Exemple : $A(0;0;0)$, $B(1;2;3)$, $C(2;4;6)$. Alors $\overrightarrow{AB}=(1;2;3)$ et $\overrightarrow{AC}=(2;4;6)=2\overrightarrow{AB}$ : points alignés.

Points coplanaires

Quatre points $A$, $B$, $C$, $D$ sont coplanaires $\iff$ $\overrightarrow{AB}$ est combinaison linéaire de $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AD}$ :

$$\overrightarrow{AB}=a\overrightarrow{AC}+b\overrightarrow{AD}$$

Exemple

$A(0;0;0)$, $B(1;1;0)$, $C(1;0;0)$, $D(0;1;0)$ : $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}$, donc coplanaires.

À retenir

Trois points non alignés définissent un unique plan. Si $A$, $B$, $C$ sont alignés, alors pour tout $D$ les quatre points sont coplanaires.

Coordonnées dans un repère

Dans un repère $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ :

Si $A(x_A;y_A;z_A)$ et $B(x_B;y_B;z_B)$ alors $$\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;\; y_B-y_A;\; z_B-z_A)$$

Milieu de $[AB]$ : $$I\left(\dfrac{x_A+x_B}{2};\dfrac{y_A+y_B}{2};\dfrac{z_A+z_B}{2}\right)$$

Opérations : $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ (Chasles), et $\lambda\overrightarrow{AB}=(\lambda x;\lambda y;\lambda z)$.

Exemple : $A(1;2;0)$, $B(3;2;4)$. Alors $\overrightarrow{AB}=(2;0;4)$, milieu $I(2;2;2)$, et $3\overrightarrow{AB}=(6;0;12)$.

Représentation paramétrique d'une droite

La droite passant par $A(x_A;y_A;z_A)$ et dirigée par $\vec{u}=(a;b;c)\neq\vec{0}$ admet pour représentation paramétrique :

$$\begin{cases}x=x_A+at\\ y=y_A+bt\\ z=z_A+ct\end{cases}\qquad(t\in\mathbb{R})$$

Avec deux points

Pour $(AB)$ : prendre $A$ et $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$.

Lecture

Les coefficients de $t$ forment un vecteur directeur ; le terme constant donne un point de la droite ($t=0$).

Exemple : $A(1;0;2)$, $B(3;1;2)$ $\Rightarrow$ $\overrightarrow{AB}=(2;1;0)$. Représentation de $(AB)$ : $$\begin{cases}x=1+2t\\ y=t\\ z=2\end{cases}$$

Appartenance d'un point à une droite

Un point $M(x;y;z)$ appartient à la droite de représentation paramétrique ci-dessus $\iff$ le système en $t$ est compatible :

$$\begin{cases}x=x_A+at\\ y=y_A+bt\\ z=z_A+ct\end{cases}$$

Exemple : droite $\begin{cases}x=1+2t\\ y=t\\ z=2\end{cases}$. Le point $M(5;2;2)$ : $y=2\Rightarrow t=2$, puis $x=1+4=5$ et $z=2$ OK. Le point $N(5;2;3)$ : même $t=2$ mais $z\neq 2$ $\Rightarrow$ $N\notin(d)$.

Positions relatives de deux droites

Soient $(d)$ et $(d')$ de vecteurs directeurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$.

1. Vecteurs colinéaires

Les droites sont parallèles (distinctes ou confondues). Pour trancher : un point de l'une appartient-il à l'autre ?

2. Vecteurs non colinéaires

On cherche une intersection (système à 2 paramètres). Compatible $\Rightarrow$ sécantes ; incompatible $\Rightarrow$ non coplanaires (pas d'intersection, non parallèles).

Rappel + exemple : dans l'espace, deux droites non parallèles peuvent ne pas se couper. Sur un cube $ABCDEFGH$ : $(AB)$ et $(EF)$ sont parallèles ; $(AB)$ et $(CG)$ sont non coplanaires.

Droites coplanaires

Deux droites sont coplanaires si elles sont contenues dans un même plan.

Oui si

elles sont parallèles, confondues, ou sécantes.

Non si

ni parallèles ni sécantes (droites non coplanaires). Ex. : une arête du bas et une arête « diagonale » du haut d'un cube.

Caractérisation d'un plan

Un plan $\mathcal{P}$ est déterminé par :

un point $A$ et deux vecteurs non colinéaires $\vec{u}$, $\vec{v}$ ;

trois points non alignés $A$, $B$, $C$ (alors $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$, $\vec{v}=\overrightarrow{AC}$).

Un point $M$ appartient à $\mathcal{P}$ $\iff$ $\overrightarrow{AM}=s\vec{u}+t\vec{v}$ pour certains $s,t\in\mathbb{R}$.

Exemple : plan $(ABC)$ avec $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $C(0;1;0)$. Alors $\vec{u}=(1;0;0)$, $\vec{v}=(0;1;0)$. Le point $M(2;3;0)$ : $\overrightarrow{AM}=2\vec{u}+3\vec{v}$ $\Rightarrow$ $M\in\mathcal{P}$. Le point $N(0;0;1)$ n'y est pas ($z\neq 0$).

Positions relatives droite / plan

Soit $(d)$ de vecteur directeur $\vec{u}$, et $\mathcal{P}$ dirigé par $\vec{v}$, $\vec{w}$.

$\vec{u}$ coplanaire à $\vec{v},\vec{w}$ : $(d)$ est parallèle à $\mathcal{P}$ (ou incluse dans $\mathcal{P}$). Tester l'appartenance d'un point de $(d)$ à $\mathcal{P}$.

$\vec{u}$ non coplanaire à $\vec{v},\vec{w}$ : $(d)$ et $\mathcal{P}$ sont sécants en exactement un point.

Exemple (cube) : l'arête $(AE)$ est sécante au plan $(ABCD)$ en $A$ ; l'arête $(EF)$ est parallèle à $(ABCD)$ (et non incluse).

Intersection de deux plans

Plans confondus

Mêmes points : intersection = le plan lui-même.

Plans parallèles distincts

Vecteurs directeurs « du même plan » mais un point de l'un n'est pas dans l'autre : intersection vide. Ex. : faces opposées d'un cube.

Plans sécants

L'intersection est une droite. Sur un cube : souvent une arête, une diagonale de face, ou une section (triangle, trapèze…).

Sections de solides (cube)

Pour tracer la section d'un cube par un plan $(IJK)$ :

1 Placer les points donnés sur les arêtes / faces.

2 Relier les points coplanaires situés sur une même face.

3 Utiliser le parallélisme : un plan qui coupe deux faces parallèles donne des traces parallèles.

$Sections de solides (cube)$

Méthodes Bac (checklist)

Montrer que…

3 points alignés $\to$ colinéarité de 2 vecteurs
4 points coplanaires $\to$ combinaison linéaire
3 vecteurs coplanaires $\to$ système compatible
2 droites sécantes $\to$ non parallèles + système compatible

Déterminer…

paramétrique d'une droite : point + vecteur directeur
appartenance d'un point à une droite : résoudre en $t$
appartenance à un plan : $\overrightarrow{AM}=s\vec{u}+t\vec{v}$
intersection de 2 droites : système $(t,s)$

Géométrie dans l'espace: partie 1

Résumé du cours

Géométrie dans l'espace — Partie 1