$f(x)=xe^{-x}+1$

1. Montrer que pour tout réel $x$ on a $f'(x)=e^{-x}(1-x)$ et déterminer les variations de $f$ sur $\R$
2. Montrer que l'équation réduite de la tangente $T$ à $C_f$ au point d'abscisse $0$ est $y=x+1$
3. Montrer que $f''(x)=e^{-x}(x-2)$ et déterminer la convexité de $f$ sur $\R$
4. En déduire la position relative de $T$ et $C_f$

La production mensuelle de légumes permettra de livrer au maximum 1 000 paniers par mois. Le coût total de production est modélisé par la fonction $C$ définie sur l’intervalle $[0 ; 10]$ par

Lorsque $x$ est exprimé en centaines de paniers, $C(x)$ est égal au coût total exprimé en centaines d'euros. On admet que, pour tout nombre $x$ de l'intervalle $[0 ; 10]$, le coût marginal est donné par la fonction $C_m =C'$ où $C'$ est la fonction dérivée de $C$.

1. Calculer $Cm(6)$, le coût marginal pour six cents paniers vendus.

On note $C''$ la fonction dérivée seconde de C et on a $C''(x)=-\frac{1}{4}x^2+\frac{15}{8}x$

2. Déterminer le plus grand intervalle de la forme $[0 ; a]$ inclus dans $[0 ; 10]$ sur lequel la fonction $C$ est convexe.
3. Que peut-on dire du point d'abscisse $a$ de la courbe de la fonction $C$? Interpréter cette valeur de $a$ en termes de coût.

1. Soit $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=e^x$
1. Montrer que $f$ est convexe sur $\R$ et déterminer l'équation réduite de la tangente $T$ à $C_f$ en $x=0$
2. En déduire que pour tout $x \in \R$, $e^x \geq x+1$
2. Soit $f$ définie sur $[0;+\infin[$ par $f(x)=\sqrt{x}$
1. Montrer que $f$ est concave sur $]0;+\infin[$ et déterminer l'équation réduite de la tangente $T$ à $C_f$ en $x=1$
2. En déduire que pour tout $x \in \R$, $\sqrt{x} \leq \frac{x}{2}+\frac{1}{2}$
3. En utilisant une méthode similaire, montrer que $(1+x)^n \geq 1+nx$ pour tout réel $x\geq 0$ et $n\in \N$

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par: $$f(x)=e^{-2x^2+4x-\frac{3}{2}}$$

1. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\R$
2. Montrer que pour tout réel $x$:$$f''(x)=(16x^2-32x+12)e^{-2x^2+4x-\frac{3}{2}}$$
3. Étudier la convexité de $f$ sur $\R$ et déterminer les potentiels points d'inflexion.

$C_1$, $C_2$, $C_3$ sont respectivement les courbes de $f$, $f'$ et $f''$, avec $f$ une fonction définie sur $\R$.

1. Dresser le tableau de variations de $f$.
2. Déterminer la convexité de $f$ sur $\R$.
3. En déduire les potentiels points d'inflexion de $f$

Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $I$. On veut montrer l'implication suivante: pour tout $x\in I$, $f''(x)\geq 0$ $\implies$ $f$ est au dessus de ses tangentes sur $i$.

1. Rappeler l'équation réduite de la tangente à $C_f$ en un point d'abscisse $a\in I$
2. Soit $g$ la fonction définie sur $I$ par $g(x)=f(x)-f'(a)x+af'(a)-f(a)$. Calculer $g'(x)$ puis $g''(x)$.
3. En déduire le signe de $g''(x)$, puis celui de $g'(x)$ et enfin celui de $g(x)$ sur $I$.
4. Conclure

On appelle fonction "satisfaction" toute fonction dérivable qui prend ses valeurs entre 0 et 100.

1. Il y a "saturation" quand la fonction atteint la valeur 100
2. La fonction "envie" est la dérivée de la fonction "satisfaction"
3. Il y a "souhait" lorsque la fonction "envie" est positive ou nulle
4. Il y a "rejet" lorsque la fonction "envie" est strictement négative

PARTIE A

Le directeur d'une agence de trekking modélise la satisfaction de ses clients en fonction de la durée de leur séjour. On admet que la fonction satisfaction $g$ est définie sur $[0;30]$ par $$g(x)=12,5xe^{-0,125x+1}$$ avec $x$ exprimé en jours.

1. Démontrer que pour tout $x\in [0;30]$ $$g'(x)=(12,5-1,5625x)e^{-0,125x+1}$$
2. Etudier le signe de $g'(x)$ sur $[0;30]$ puis dresser le tableau de variations de $g$ sur cet intervalle.
3. Quelle durée de séjour correspond-elle à l'effet «saturation»?

PARTIE B

La direction des ressources humaines d'une entreprise modélise la satisfaction d'un salarié en fonction du salaire annuel qu'il perçoit. On admet que la fonction « satisfaction » $h$, est définie sur l'intervalle $[10; 50]$ par $$h(x)=\dfrac{90}{1+e^{-0,25x+6}}$$

($x$ est exprimé en millier d'euros).

La courbe $C_h$ de la fonction $h$ est représentée ci-dessous:

1. Conjecturer graphiquement la convexité de $h$ sur l'intervalle $[10; 50]$ ainsi que les potentiels points d'inflexion.
2. Calculer la satisfaction correspondant à un salaire de 50 000 euros.
3. Déterminer la limite de $h$ quand $x$ tend vers $+\infin$. Que peut-on en déduire sur la saturation dans ce modèle?
4. Résoudre dans l'intervalle $[10; 50]$ l'inéquation $e^{-0,25x+6}-1>0$.
5. Démontrer que pour tout $x\in [10; 50]$ $h'(x)=\dfrac{22,5e^{-0,25x+6}}{(1+e^{-0,25x+6})^2}$ puis que: $$h''(x)=\dfrac{5,625e^{-0,25x+6}(e^{-0,25x+6}-1)}{(1+e^{-0,25x+6})^3}$$
6. En déduire la convexité de $h$ sur l'intervalle $[0;50]$.
7. À partir de quel salaire annuel la fonction «envie» décroît? Justifier.