Combinatoire et dénombrement

Exercices, évaluations et cours - Niveau Terminale Spécialité.

Par où commencer ?

Sur chaque chapitre, suis cet ordre pour progresser efficacement.

  1. 1. Apprendre — résumé et méthodes vidéo
  2. 2. Exercices — t’entraîner par niveau
  3. 3. Évaluations — te tester (quiz / contrôles)
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Intermediaire Basique

Basique

7 exercices

Cardinal d'union et de produit cartésien (principes additifs et multiplicatifs)

Basique Premium

Pour chacune des situations suivantes compter le nombre de possibilités

  1. Une classe contient 5 élèves qui font de l'allemand, 9 qui font de l'espagnol et 3 qui font du chinois. Chaque élève n'apprend que 1 seule langue, et on choisit 1 élève au hasard.
  2. Au menu d'un restaurant il y a 4 entrées, 6 plats et 3 desserts. On veut en choisir un de chaque catégorie.
  3. Un code est composé de 5 chiffres (compris entre 0 et 9) et 2 lettres choisies entre A, B et C.
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Produits cartésiens

Basique Premium

Déterminer les produits cartésiens suivants

  1. On considère les ensembles $A=\{-1;0;3\}$ et $B=\{1;3\}$. Déterminer $A\times B$ et $B\times A$.
  2. On considère les ensembles $A=\{a;b\}$ et $B=\{0;1\}$ et $C=\{x;y;z\}$. Déterminer $A\times B\times C$
  3. Donner 2 ensembles A et B tels que $A\times B=\{(3;0),(3;1),(a;0),(a;1),(b;0),(b;1)\}$
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Arrangements: dénombrer les k-uplets

Basique Premium

Dénombrer dans les cas suivants:

  1. Combien de mots de 4 lettres (ayant un sens ou non) peut-on former à l'aide des lettres A, B, C, D, E, F, G
  2. Dans une course de 10 personnes, combien de podium différents peuvent se produire?
  3. Dans une classe de terminale, 5 élèves doivent être interrogés sur les 20. Dans combien d'ordres différents le professeur peut-il les interroger?
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Dénombrer les permutations

Basique Premium

Utiliser les permutations et la notation factorielle pour dénombrer.

  1. Combien peut-on former de mots (ayant un sens ou non) de six lettres distinctes en utilisant les lettres du mot ESPRIT
  2. Parmi ces mots, combien peut-on en former qui commencent par une voyelle? par une consonne?
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Calcul de factoriels

Basique Premium

Simplifier les calculs suivants

  1. $\dfrac{8!}{5!}$
  2. $(n+2)!\times (n+3)$
  3. $\dfrac{(n+3)!}{(n+5)!}$
  4. $\dfrac{n!}{(n-1)!}$
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Parties d'un ensemble

Basique Premium

On considère l'ensemble $E=\{a; b; c\}$

  1. Utiliser la formule pour déterminer le nombre de parties de $E$
  2. Combien y-a t'il de parties à 2 éléments?
  3. Calculer $\dbinom{3}{0}+\dbinom{3}{1}+\dbinom{3}{2}+\dbinom{3}{3}$
  4. Quel résultat retrouve-t'on?
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Combinaisons et jeu de cartes

Basique Premium

On considère un jeu de 32 cartes, les cartes vont du 7 à l'As.

  1. Combien peut-on constituer de mains de 5 cartes?
  2. Combien de mains de 5 cartes contiennent uniquement des coeurs?
  3. Combien de mains de 5 cartes contiennent 2 Dames exactement?
  4. Combien de mains de 5 cartes contiennent les 4 As?
  5. Combien de mains de 5 cartes contiennent exactement 1 roi?
  6. Combien de mains de 5 cartes contiennent au moins 1 roi?
  7. Combien de mains de 5 cartes contiennent exactement 3 trèfles?
  8. Combien de mains de 5 cartes contiennent exactement 2 piques et 3 coeurs?
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Intermediaire

6 exercices

Produit cartésien et cardinal

Intermédiaire Premium

Soit $E=\{-1;3;5\}$

  1. Déterminer $card(E^2)$ et $E^2$
  2. Combien de 5-uplets d'éléments de $E$ peut-on former?
  3. Dans chaque cas donner 1 élément appartenant aux ensembles suivants:
    4. $\N^3$ $\R \times \Z$ $\R^2$ $\Z \times \mathbb{Q}^2$
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Compter les anagrammes d'un mot avec permuations

Intermédiaire Premium

Déterminer le nombre d'anagrammes (mêmes lettres mais dans un ordre différent) que l'on peut former pour chacun des mots suivants, en utilisant le nombre de permutations $n!$

  1. OVALE
  2. EQUIPE
  3. COOPERATION
  4. ANANAS
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Compter les mot possibles

Intermédiaire Premium

Dénombrer dans les cas suivants:

  1. Compter le nombre d'anagrammes des mots: POULPE, ANAGRAMME, LITTERATURE
  2. Combien de mots de 8 lettres peut-on former avec les lettres A et B?
  3. Combien de mots de 8 lettres peut-on former avec exactement 5 lettres A et 3 lettres B?
  4. Combien de mots à 10 lettres peut-on former avec les lettres A, B, C et D?
  5. Combien de mots de 10 lettres peut-on former avec exactement 4 lettres A, 3 lettres B et 3 lettres C?
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Relation de Pascal

Intermédiaire Premium

Le but de cet exercice est de démontrer la relation de Pascal: si $1\leq k \leq n-1$ alors $\dbinom{n}{k}=\dbinom{n-1}{k-1}+\dbinom{n-1}{k}$

Méthode 1: On considère un ensemble $E$ de $n$ éléments et on note un de ces éléments $A$.

  1. De combien de façons peut-on choisir $k$ éléments parmi les éléments de $F$?
  2. De combien de façons peut-on choisir $k-1$ éléments parmi les éléments de $F$?
  3. Conclure

Méthode 2: Par le calcul, en utilisant la formule $\dbinom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$

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Calcul de coefficients binomiaux

Intermédiaire Premium
  1. Montrer que pour tout entier $n$:
    2. $\dbinom{n}{0}=1$ $\dbinom{n}{1}=n$ $\dbinom{n}{2}=\dfrac{n(n-1)}{2}$
  2. En déduire les valeurs de:
    3. $\dbinom{n}{n}$ $\dbinom{n}{n-1}$ $\dbinom{n}{n-2}$
  3. Déterminer sans calculatrice les valeurs de:
    1. $\dbinom{10}{2}-\dbinom{6}{1}+\dbinom{8}{7}+\dbinom{11}{9}-\dbinom{4}{4}$
    2. $\dbinom{5}{0}+\dbinom{5}{1}-\dbinom{5}{2}+\dbinom{5}{3}-\dbinom{5}{4}+\dbinom{5}{5}$
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Dénombrement et Python

Intermédiaire Premium

On considère l'algorithme Python suivant:

  1. Décrire ce que calcule cet algorithme
  2. Quelle est la valeur de f(3,7)?
  3. Écrire un algorithme qui permet de calculer $n!$ quelle que soit la valeur de l'entier $n$
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Résumé de cours

Combinatoire et dénombrement

Combinatoire et dénombrement

Ensembles disjoints

Deux ensembles $A$ et $B$ sont disjoints lorsqu'ils n'ont aucun élément commun :

$$A\cap B=\emptyset$$

Exemple : $A=\{1;2;3\}$ et $B=\{4;5\}$ sont disjoints. En revanche $A$ et $C=\{3;6\}$ ne le sont pas ($3$ est commun).

Partie et complémentaire

Partie

$A$ est une partie (ou sous-ensemble) de $E$ si tous les éléments de $A$ sont dans $E$. On note $A\subset E$.

Complémentaire

Si $A\subset E$, le complémentaire $\overline{A}$ (dans $E$) est l'ensemble des éléments de $E$ qui ne sont pas dans $A$.

Exemple : $E=\{1;2;3;4;5\}$ et $A=\{2;4\}$. Alors $\overline{A}=\{1;3;5\}$ et $card(\overline{A})=card(E)-card(A)=3$.

Principe additif

Si $A_1,\ldots,A_n$ sont des ensembles deux à deux disjoints, alors

$$card(A_1\cup \cdots\cup A_n)=card(A_1)+\cdots+card(A_n)$$

Exemple : une urne contient $4$ boules rouges et $7$ boules bleues. Nombre de boules : $4+7=11$ (les deux ensembles de couleurs sont disjoints).

Produit cartésien et principe multiplicatif

$A\times B$ est l'ensemble des couples $(x;y)$ avec $x\in A$ et $y\in B$. On a

$$card(A\times B)=card(A)\times card(B)$$

Exemple

$A=\{a;b\}$, $B=\{1;2;3\}$. Alors $A\times B$ a $2\times 3=6$ couples : $(a;1)$, $(a;2)$, $(a;3)$, $(b;1)$, $(b;2)$, $(b;3)$.

En pratique

« $p$ choix puis $q$ choix indépendants » $\Rightarrow$ $p\times q$ possibilités (arbre, menus, codes…).

$k\text{-uplets (avec répétitions possibles)}$

Un $k$-uplet d'éléments de $E$ est un élément de $E^k=E\times\cdots\times E$ ($k$ facteurs). Si $card(E)=n$,

$$card(E^k)=n^k$$

Exemple : un code PIN à $4$ chiffres (de $0$ à $9$, répétitions autorisées) : $10^4=10\,000$ codes possibles.

Factorielle

Pour $n\in\mathbb{N}^*$,

$$n!=1\times 2\times \cdots\times n\qquad\text{et}\qquad 0!=1$$

Exemple : $5!=120$. On a aussi $n!=n\times(n-1)!$ (utile pour simplifier des quotients de factorielles).

Arrangements

Un arrangement de $k$ éléments parmi $n$ est un $k$-uplet d'éléments distincts (l'ordre compte, pas de répétition).

$$A_n^k=\dfrac{n!}{(n-k)!}=n(n-1)\cdots(n-k+1)$$

Quand l'utiliser ?

Ordre important + éléments distincts (podium, tirage successif sans remise, file d'attente…).

Exemple

Podium (1er, 2e, 3e) parmi $10$ coureurs : $A_{10}^3=10\times 9\times 8=720$.

Permutations

Une permutation de $n$ éléments distincts est un arrangement de ces $n$ éléments (tous les ordres possibles) :

$$P_n=n!$$

Exemple : anagrammes du mot ESPRIT (6 lettres distinctes) : $6!=720$ mots.

Combinaisons

Une combinaison de $k$ éléments parmi $n$ est une partie à $k$ éléments de $E$ (l'ordre ne compte pas, pas de répétition).

$$\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}=\dfrac{A_n^k}{k!}$$

Quand l'utiliser ?

On choisit un groupe, une main, un sous-ensemble : l'ordre des éléments n'a pas d'importance.

Exemple

Choisir un comité de $3$ élèves parmi $12$ : $\dbinom{12}{3}=\dfrac{12\times 11\times 10}{3\times 2\times 1}=220$.

Comment choisir la bonne formule ?
Situation Ordre ? Répétitions ? Formule
Listes / codes oui oui $n^k$
Arrangements oui non $A_n^k$
Permutations oui non (tous) $n!$
Combinaisons non non $\binom{n}{k}$

Astuce Bac : se demander « si j'échange deux éléments, est-ce que ça change le résultat ? ». Oui $\to$ arrangement / permutation. Non $\to$ combinaison.

Solution écrite

Aucune solution écrite pour cet exercice.

Vidéo