Pour chacune des situations suivantes compter le nombre de possibilités

1. Une classe contient 5 élèves qui font de l'allemand, 9 qui font de l'espagnol et 3 qui font du chinois. Chaque élève n'apprend que 1 seule langue, et on choisit 1 élève au hasard.
2. Au menu d'un restaurant il y a 4 entrées, 6 plats et 3 desserts. On veut en choisir un de chaque catégorie.
3. Un code est composé de 5 chiffres (compris entre 0 et 9) et 2 lettres choisies entre A, B et C.

Déterminer les produits cartésiens suivants

1. On considère les ensembles $A=\{-1;0;3\}$ et $B=\{1;3\}$. Déterminer $A\times B$ et $B\times A$.
2. On considère les ensembles $A=\{a;b\}$ et $B=\{0;1\}$ et $C=\{x;y;z\}$. Déterminer $A\times B\times C$
3. Donner 2 ensembles A et B tels que $A\times B=\{(3;0),(3;1),(a;0),(a;1),(b;0),(b;1)\}$

Dénombrer dans les cas suivants:

1. Combien de mots de 4 lettres (ayant un sens ou non) peut-on former à l'aide des lettres A, B, C, D, E, F, G
2. Dans une course de 10 personnes, combien de podium différents peuvent se produire?
3. Dans une classe de terminale, 5 élèves doivent être interrogés sur les 20. Dans combien d'ordres différents le professeur peut-il les interroger?

Utiliser les permutations et la notation factorielle pour dénombrer.

1. Combien peut-on former de mots (ayant un sens ou non) de six lettres distinctes en utilisant les lettres du mot ESPRIT
2. Parmi ces mots, combien peut-on en former qui commencent par une voyelle? par une consonne?

Simplifier les calculs suivants

1. $\dfrac{8!}{5!}$
2. $(n+2)!\times (n+3)$
3. $\dfrac{(n+3)!}{(n+5)!}$
4. $\dfrac{n!}{(n-1)!}$

On considère l'ensemble $E=\{a; b; c\}$

1. Utiliser la formule pour déterminer le nombre de parties de $E$
2. Combien y-a t'il de parties à 2 éléments?
3. Calculer $\dbinom{3}{0}+\dbinom{3}{1}+\dbinom{3}{2}+\dbinom{3}{3}$
4. Quel résultat retrouve-t'on?

On considère un jeu de 32 cartes, les cartes vont du 7 à l'As.

1. Combien peut-on constituer de mains de 5 cartes?
2. Combien de mains de 5 cartes contiennent uniquement des coeurs?
3. Combien de mains de 5 cartes contiennent 2 Dames exactement?
4. Combien de mains de 5 cartes contiennent les 4 As?
5. Combien de mains de 5 cartes contiennent exactement 1 roi?
6. Combien de mains de 5 cartes contiennent au moins 1 roi?
7. Combien de mains de 5 cartes contiennent exactement 3 trèfles?
8. Combien de mains de 5 cartes contiennent exactement 2 piques et 3 coeurs?

Soit $E=\{-1;3;5\}$

1. Déterminer $card(E^2)$ et $E^2$
2. Combien de 5-uplets d'éléments de $E$ peut-on former?
3. Dans chaque cas donner 1 élément appartenant aux ensembles suivants:
$\N^3$ $\R \times \Z$ $\R^2$ $\Z \times \mathbb{Q}^2$

Déterminer le nombre d'anagrammes (mêmes lettres mais dans un ordre différent) que l'on peut former pour chacun des mots suivants, en utilisant le nombre de permutations $n!$

1. OVALE
2. EQUIPE
3. COOPERATION
4. ANANAS

Dénombrer dans les cas suivants:

1. Compter le nombre d'anagrammes des mots: POULPE, ANAGRAMME, LITTERATURE
2. Combien de mots de 8 lettres peut-on former avec les lettres A et B?
3. Combien de mots de 8 lettres peut-on former avec exactement 5 lettres A et 3 lettres B?
4. Combien de mots à 10 lettres peut-on former avec les lettres A, B, C et D?
5. Combien de mots de 10 lettres peut-on former avec exactement 4 lettres A, 3 lettres B et 3 lettres C?

Le but de cet exercice est de démontrer la relation de Pascal: si $1\leq k \leq n-1$ alors $\dbinom{n}{k}=\dbinom{n-1}{k-1}+\dbinom{n-1}{k}$

Méthode 1: On considère un ensemble $E$ de $n$ éléments et on note un de ces éléments $A$.

1. De combien de façons peut-on choisir $k$ éléments parmi les éléments de $F$?
2. De combien de façons peut-on choisir $k-1$ éléments parmi les éléments de $F$?
3. Conclure

Méthode 2: Par le calcul, en utilisant la formule $\dbinom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$

1. Montrer que pour tout entier $n$:
$\dbinom{n}{0}=1$ $\dbinom{n}{1}=n$ $\dbinom{n}{2}=\dfrac{n(n-1)}{2}$
2. En déduire les valeurs de:
$\dbinom{n}{n}$ $\dbinom{n}{n-1}$ $\dbinom{n}{n-2}$
3. Déterminer sans calculatrice les valeurs de:
   1. $\dbinom{10}{2}-\dbinom{6}{1}+\dbinom{8}{7}+\dbinom{11}{9}-\dbinom{4}{4}$
   2. $\dbinom{5}{0}+\dbinom{5}{1}-\dbinom{5}{2}+\dbinom{5}{3}-\dbinom{5}{4}+\dbinom{5}{5}$

On considère l'algorithme Python suivant:

1. Décrire ce que calcule cet algorithme
2. Quelle est la valeur de f(3,7)?
3. Écrire un algorithme qui permet de calculer $n!$ quelle que soit la valeur de l'entier $n$

On souhaite aller du point A au point B dans le quadrillage ci-dessous en utilisant seulement des mouvements vers le haut et à droite sur chaque arête.

1. Combien de chemin différents vont de A à B?
2. Combien de chemin différents vont de A à B en passant par le point C?

On considère $N$ points du plan avec $N \geq 2$.

1. Combien de segments peut-on tracer entre ces $N$ points distincts du plan?
2. Combien de triangles et quadrilatères peut-on former avec ces $N$ points?
3. En déduire le nombre de polygones à $p$ côtés (avec $p \leq N$) que l'on peut former avec ces $N$ points.
4. Calculer le nombre d'hexagones que l'on peut former à partir de 8 points distincts.

On considère désormais un polygone à $p$ côtés (avec $p \leq N$). On aimerait dénombrer le nombre de diagonales que l'on peut former.

5. Méthode 1 Compter le nombre segments que l'on peut former à partir des $p$ points, sans oublier que certains sont des côtés du polygone et non des diagonales. En déduire le nombre de diagonales.
6. Méthode 2 Pour former une diagonale, on commence par choisir un point du polygone, puis il faut choisir les points que l'on peut relier au point initialement choisi. En déduire le resultat souhaité.

Une urne contient 15 boules numérotées de 1 à 15. On effectue au hasard et avec remise 5 tirages successifs d’une boule, et on note les numéros obtenus dans l’ordre d’apparition.

1. Combien de résultats différents peut-on obtenir?
2. Combien y a-t-il de résultats avec cinq numéros tous différents?
3. On note $A$ l'événement : « obtenir cinq numéros tous différents ». Définir par une phrase l'événement $\overline{D}$ puis calculer $P(A)$ et $P(\overline{A})$.

On s'intéresse maintenant aux anniversaires d'un groupe de personnes. Pour chaque personne, on considère que 365 jours sont possibles pour leur anniversaire.
On dispose d'une urne qui contient 365 boules numérotés de 1 à 365. Tirer au hasard un nombre parmi ces 365 revient à associer une date d'anniversaire à une personne.
Le fait que plusieurs personnes puissent avoir le même jour d'anniversaire correspond à tirer plusieurs fois le même nombre parmi les 365 possibles.

4. On effectue au hasard et avec remise 5 tirages successifs. Quelle est le nombre de résultats possibles?
5. En s'inspirant de la première partie, déterminer la probabilités d'avoir au moins deux numéros identiques.
6. Quelle est donc la probabilité que parmi 5 personnes, au moins deux aient le même anniversaire? Faire le même calcul pour 10, 15 et 20 personnes.
7. Compléter le programme suivant qui calcule la probabilité d'avoir au moins deux personnes qui ont le même anniversaire dans un groupe de $n$ personnes.