Combinatoire et dénombrement

Exercices, quiz et cours - Niveau Terminale Spécialité.

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Basique Intermediaire

Basique

7 exercices

Cardinal d'union et de produit cartésien (principes additifs et multiplicatifs)

Basique

Pour chacune des situations suivantes compter le nombre de possibilités

  1. Une classe contient 5 élèves qui font de l'allemand, 9 qui font de l'espagnol et 3 qui font du chinois. Chaque élève n'apprend que 1 seule langue, et on choisit 1 élève au hasard.
  2. Au menu d'un restaurant il y a 4 entrées, 6 plats et 3 desserts. On veut en choisir un de chaque catégorie.
  3. Un code est composé de 5 chiffres (compris entre 0 et 9) et 2 lettres choisies entre A, B et C.

Produits cartésiens

Basique

Déterminer les produits cartésiens suivants

  1. On considère les ensembles $A=\{-1;0;3\}$ et $B=\{1;3\}$. Déterminer $A\times B$ et $B\times A$.
  2. On considère les ensembles $A=\{a;b\}$ et $B=\{0;1\}$ et $C=\{x;y;z\}$. Déterminer $A\times B\times C$
  3. Donner 2 ensembles A et B tels que $A\times B=\{(3;0),(3;1),(a;0),(a;1),(b;0),(b;1)\}$

Arrangements: dénombrer les k-uplets

Basique

Dénombrer dans les cas suivants:

  1. Combien de mots de 4 lettres (ayant un sens ou non) peut-on former à l'aide des lettres A, B, C, D, E, F, G
  2. Dans une course de 10 personnes, combien de podium différents peuvent se produire?
  3. Dans une classe de terminale, 5 élèves doivent être interrogés sur les 20. Dans combien d'ordres différents le professeur peut-il les interroger?

Dénombrer les permutations

Basique

Utiliser les permutations et la notation factorielle pour dénombrer.

  1. Combien peut-on former de mots (ayant un sens ou non) de six lettres distinctes en utilisant les lettres du mot ESPRIT
  2. Parmi ces mots, combien peut-on en former qui commencent par une voyelle? par une consonne?

Calcul de factoriels

Basique

Simplifier les calculs suivants

  1. $\dfrac{8!}{5!}$
  2. $(n+2)!\times (n+3)$
  3. $\dfrac{(n+3)!}{(n+5)!}$
  4. $\dfrac{n!}{(n-1)!}$

Parties d'un ensemble

Basique

On considère l'ensemble $E=\{a; b; c\}$

  1. Utiliser la formule pour déterminer le nombre de parties de $E$
  2. Combien y-a t'il de parties à 2 éléments?
  3. Calculer $\dbinom{3}{0}+\dbinom{3}{1}+\dbinom{3}{2}+\dbinom{3}{3}$
  4. Quel résultat retrouve-t'on?

Combinaisons et jeu de cartes

Basique

On considère un jeu de 32 cartes, les cartes vont du 7 à l'As.

  1. Combien peut-on constituer de mains de 5 cartes?
  2. Combien de mains de 5 cartes contiennent uniquement des coeurs?
  3. Combien de mains de 5 cartes contiennent 2 Dames exactement?
  4. Combien de mains de 5 cartes contiennent les 4 As?
  5. Combien de mains de 5 cartes contiennent exactement 1 roi?
  6. Combien de mains de 5 cartes contiennent au moins 1 roi?
  7. Combien de mains de 5 cartes contiennent exactement 3 trèfles?
  8. Combien de mains de 5 cartes contiennent exactement 2 piques et 3 coeurs?

Intermediaire

6 exercices

Produit cartésien et cardinal

Intermédiaire

Soit $E=\{-1;3;5\}$

  1. Déterminer $card(E^2)$ et $E^2$
  2. Combien de 5-uplets d'éléments de $E$ peut-on former?
  3. Dans chaque cas donner 1 élément appartenant aux ensembles suivants:
    4. $\N^3$ $\R \times \Z$ $\R^2$ $\Z \times \mathbb{Q}^2$

Compter les anagrammes d'un mot avec permuations

Intermédiaire

Déterminer le nombre d'anagrammes (mêmes lettres mais dans un ordre différent) que l'on peut former pour chacun des mots suivants, en utilisant le nombre de permutations $n!$

  1. OVALE
  2. EQUIPE
  3. COOPERATION
  4. ANANAS

Compter les mot possibles

Intermédiaire

Dénombrer dans les cas suivants:

  1. Compter le nombre d'anagrammes des mots: POULPE, ANAGRAMME, LITTERATURE
  2. Combien de mots de 8 lettres peut-on former avec les lettres A et B?
  3. Combien de mots de 8 lettres peut-on former avec exactement 5 lettres A et 3 lettres B?
  4. Combien de mots à 10 lettres peut-on former avec les lettres A, B, C et D?
  5. Combien de mots de 10 lettres peut-on former avec exactement 4 lettres A, 3 lettres B et 3 lettres C?

Relation de Pascal

Intermédiaire

Le but de cet exercice est de démontrer la relation de Pascal: si $1\leq k \leq n-1$ alors $\dbinom{n}{k}=\dbinom{n-1}{k-1}+\dbinom{n-1}{k}$

Méthode 1: On considère un ensemble $E$ de $n$ éléments et on note un de ces éléments $A$.

  1. De combien de façons peut-on choisir $k$ éléments parmi les éléments de $F$?
  2. De combien de façons peut-on choisir $k-1$ éléments parmi les éléments de $F$?
  3. Conclure

Méthode 2: Par le calcul, en utilisant la formule $\dbinom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$

Calcul de coefficients binomiaux

Intermédiaire
  1. Montrer que pour tout entier $n$:
    2. $\dbinom{n}{0}=1$ $\dbinom{n}{1}=n$ $\dbinom{n}{2}=\dfrac{n(n-1)}{2}$
  2. En déduire les valeurs de:
    3. $\dbinom{n}{n}$ $\dbinom{n}{n-1}$ $\dbinom{n}{n-2}$
  3. Déterminer sans calculatrice les valeurs de:
    1. $\dbinom{10}{2}-\dbinom{6}{1}+\dbinom{8}{7}+\dbinom{11}{9}-\dbinom{4}{4}$
    2. $\dbinom{5}{0}+\dbinom{5}{1}-\dbinom{5}{2}+\dbinom{5}{3}-\dbinom{5}{4}+\dbinom{5}{5}$

Dénombrement et Python

Intermédiaire

On considère l'algorithme Python suivant:

  1. Décrire ce que calcule cet algorithme
  2. Quelle est la valeur de f(3,7)?
  3. Écrire un algorithme qui permet de calculer $n!$ quelle que soit la valeur de l'entier $n$

Résumé de cours

Combinatoire et dénombrement

Combinatoire et dénombrement

Ensemble disjointsDeux ensembles disjoints $A$ et $B$ vérifient: $A\cap B=\empty$. Ils n'ont pas d'éléments communs
Partie$A$ est une partie d'un ensemble $E$ si tous les éléments de $A$ sont dans $E$ et se note $A\sub E$
ComplémentaireSi $A\sub E$, l'ensemble $\overline{A}$ (le complémentaire de $A$) est l'ensemble des éléments de $E$ qui ne sont pas dans $A$.
Principe additifSi $A_{1}, A_{2},...,A_{n}$ sont des ensembles 2 à 2 disjoints alors $card(A_{1}\cup A_{2}\cup ...\cup A_{n})=card(A_{1})+card(A_{2})+...+card(A_{n})$
Produit cartésien$A\times B$ est le produit cartésien des ensembles $A$ et $B$ et se lit "A croix B". $A\times B$ est l'ensemble des couples $(x;y)$ avec $x\in A$ et $y\in B$
Principe multiplicatif$card(A\times B)=card(A)\times card(B)$ avec $A,B$ des ensembles finis.
k-upletSoit $E$ un ensemble non vide. Un $k$-uplet (ou $k$-liste) d'éléments de E est un élément du produit cartésien $E^k=E\times E\times ...\times E$ ($k$ facteurs)$
Propriété$card(A^k)=[card(A)]^k$
FactorielSoit $n$ un nombre entier, $n!=1\times 2\times 3\times ...\times n$ et se lit "factorielle n".
ArrangementSoit $E$ un ensemble à $n$ éléments et $k\leq n$. Un arrangement de $k$ éléments de $E$ ou $k$-arrangement est $k$-uplet d'éléments distincts de $E$.
Arrangement et OrdreDans un arrangement l'ordre compte et les éléments ne se répètent pas.
Arrangement$A_{k}^n=\dfrac{n!}{(n-k)!}=n(n-1)...(n-k+1)$
PermutationUne permutation d'un ensemble $E$ avec $card(E)=n$ est un $n$-uplet d'éléments 2 à 2 distincts de $E$.

Solution écrite

Aucune solution écrite pour cet exercice.

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