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Exercice 3

Polynésie • Jour 2 • 20 juin 2024

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On considère la suite $\left(u_n\right) $ définie par :

$ u_0 = 8 $ et pour tout entier naturel $ n $, $$ u_{n+1} = u_n -\ln\left(\frac{u_n}{4}\right). $$

    1. Donner les valeurs arrondies au centième de $ u_1 $ et $ u_2 $.
    2. On considère la fonction mystere définie ci-dessous en Python. On admet que, pour tout réel strictement positif a, log(a) renvoie la valeur du logarithme népérien de a.
    def mystere(k) :
        u = 8
        S = 0
        for i in range(k) :
            S = S + u
            u = u - log( u / 4 )
        return S

L'exécution de mystere(10) renvoie 58.44045206721732. Que représente ce résultat ?

Modifier la fonction précédente afin qu'elle renvoie la moyenne des $ k $ premiers termes de la suite $ \left(u_n\right) $.

  1. On considère la fonction $ f $ définie et dérivable sur $ ]0~;~+\infty[ $ par : $$ f(x) = x - \ln\left(\frac{x}{4}\right). $$ Étudier les variations de $ f $ sur $ ]0~;~+\infty[ $ et dresser son tableau de variations.

On précisera la valeur exacte du minimum de $ f $ sur $ ]0~;~+\infty[ $. Les limites ne sont pas demandées.

Dans la suite de l'exercice, on remarquera que pour tout entier naturel $ n $, $$ u_{n+1} = f\left(u_n\right). $$

    1. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $ n $, on a : $$ 1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n. $$
    2. En déduire que la suite $ \left(u_n\right) $ converge vers une limite réelle.
    3. On note $ \ell $ la valeur de cette limite.
    4. Résoudre l’équation $ f(x) = x $.
    5. En déduire la valeur de $ \ell $.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Fonctions logarithmes
Suites et Limites

Notions détaillées

Fonction logarithme népérien Limite de suites Suites récurrentes Raisonnement par récurrence Étude de fonctions Algorithme Python

Solution écrite

Polynésie 20 juin 2024 - J2

    1. Application de la relation de récurrence. $$u_1=8-\ln 2\approx 7{,}31,\qquad u_2=u_1-\ln\!\left(\dfrac{u_1}{4}\right)\approx 6{,}70.$$
      $$u_1\approx 7{,}31\quad;\quad u_2\approx 6{,}70$$
    2. La boucle additionne $u$ avant de le mettre à jour, $k$ fois.
      mystere(10) renvoie $u_0+u_1+\cdots+u_9$.
    3. Remplacer le return S par la moyenne. 
      return S / k
      Retourner S / k.
  2. Dérivée : $f'(x)=1-1/x=(x-1)/x$. Pour $x>0$, le signe de $f'$ est celui de $x-1$ : $f$ décroissante sur $]0\,;\,1]$, croissante sur $[1\,;\,+\infty[$. $$f(1)=1-\ln\!\left(\dfrac{1}{4}\right)=1+\ln 4.$$
    Minimum : $$f(1)=1+\ln 4$$
    1. Récurrence ; $f$ croissante sur $[1\,;\,+\infty[$ et $f(1)\geqslant 1$. Initialisation : $1\leqslant u_1\leqslant u_0$. Si $1\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n$, alors $f(1)\leqslant f(u_{n+1})\leqslant f(u_n)$, d'où $1\leqslant u_{n+2}\leqslant u_{n+1}$.
      Pour tout $n$ : $$1\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n.$$
    2. Suite décroissante minorée par $1$.
      $(u_n)$ converge vers une limite $\ell\geqslant 1$.
    3. Équation $f(x)=x$. $$x-\ln\!\left(\dfrac{x}{4}\right)=x\iff\ln\!\left(\dfrac{x}{4}\right)=0\iff x=4.$$
      $$x=4$$
    4. Passage à la limite dans $u_{n+1}=f(u_n)$.
      $$\ell=4$$

Polynésie 20 juin 2024 - J2