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Exercice 3

Polynésie • Jour 1 • 2 septembre 2025

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Exercice 3

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=5$ et, pour tout entier naturel $n$ :

$$u_{n+1}=2+\ln(u_n^2-3).$$

On admet que cette suite est bien définie.

Partie A : Exploitation de programmes Python

  1. Recopier et compléter le script Python pour que suite(k) renvoie la liste des $k$ premières valeurs de la suite $(u_n)$.
  2. On a exécuté suite(9). Émettre deux conjectures : l'une sur le sens de variation de la suite et l'autre sur son éventuelle convergence.
  3. On a ensuite créé la fonction mystere(n) et exécuté mystere(10000), ce qui a renvoyé 1. Cet affichage contredit-il la conjecture sur le sens de variation de la suite ? Justifier.

Partie B : Étude de la convergence de la suite

On considère la fonction $g$ définie sur $[2~;~+\infty[$ par :

$$g(x)=2+\ln(x^2-3).$$
  1. Démontrer que la fonction $g$ est croissante sur $[2~;~+\infty[$.
    1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ : $$4\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant6.$$
    2. En déduire que la suite $(u_n)$ converge.

Partie C : Étude de la valeur de la limite

On considère la fonction $f$ définie sur $[2~;~+\infty[$ par :

$$f(x)=2+\ln(x^2-3)-x.$$
    1. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet exactement deux solutions sur $[2~;~+\infty[$, notées $\alpha$ et $\beta$ avec $\alpha<\beta$.
    2. Donner la valeur exacte de $\alpha$ et une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $\beta$.
  2. On note $\ell$ la limite de la suite $(u_n)$. Justifier que $f(\ell)=0$ et déterminer $\ell$.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Suites et Limites
Fonctions logarithmes

Notions détaillées

TVI et corollaire (bijection) Fonction logarithme népérien Limite de suites Suites récurrentes Raisonnement par récurrence Algorithme Python

Solution écrite

Polynésie 2 septembre 2025 J1

Exercice 3

Partie A

  1. Initialisation $u=5$ ; boucle de récurrence $u\leftarrow2+\ln(u^2-3)$. 
    def suite(k):
    L = []
    u = 5
    for i in range(k):
        L.append(u)
        u = 2 + log(u**2 - 3)
    return L
    Script complété.
  2. Conjectures numériques. Les valeurs semblent croissantes et se rapprocher d'environ $5,164$.
    Conjecture : suite croissante et convergente.
  3. Interprétation de mystere(10000)=1. La fonction renvoie $1$ si aucune baisse n'a été détectée sur $10000$ termes : cela renforce numériquement la conjecture de croissance, sans la prouver.
    Cela ne contredit pas la conjecture.

Partie B

  1. Signe de $g'$ sur $[2\,;\,+\infty[$. $$g'(x)=\dfrac{2x}{x^2-3}>0$$ sur $[2\,;\,+\infty[$.
    $g$ est croissante sur $[2\,;\,+\infty[$.
    1. Récurrence ; croissance de $g$ ; $g(4)>4$ et $g(6)<6$. On obtient $4\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant6$ pour tout $n$.
      Inégalité démontrée par récurrence.
    2. Suite croissante majorée.
      Donc $(u_n)$ converge.

Partie C

    1. Lecture du tableau de variations de $f$ ; TVI. $f(2)=0$, puis $f$ devient positive avant de tendre vers $-\infty$ : exactement deux racines.
      Exactement deux solutions $\alpha<\beta$.
    2. $\alpha=2$ ; approximation de $\beta$ à la calculatrice.
      $$\alpha=2\quad\text{et}\quad\beta\approx5,164$$
  2. Passage à la limite ; continuité ; exclusion de $\alpha=2$ car $u_n\geqslant4$. Si $u_n\to\ell$, alors $\ell=2+\ln(\ell^2-3)$, soit $f(\ell)=0$. Comme $u_n\geqslant4$, $\ell\neq2$.
    $$\ell=\beta\approx5,164$$

Polynésie 2 septembre 2025 J1