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Exercice 4

Polynésie • Jour 1 • 19 juin 2024

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L'objectif de cet exercice est de conjecturer en partie A puis de démontrer en partie B le comportement d'une suite.

Les deux parties peuvent cependant être traitées de manière indépendante.

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 3$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$ :

$$ u_{n+1} = \dfrac{4}{5 - u_n}. $$

Partie A

  1. Recopier et compléter la fonction Python suivante suite(n) qui prend comme paramètre le rang $n$ et renvoie la valeur du terme $u_n$.
    2. def suite(n):
    u = ...
    for i in range(n):
        ...
    return u
  2. L'exécution de suite(2) renvoie 1.3333333333333333.
    Effectuer un calcul pour vérifier et expliquer cet affichage.
  3. À l'aide des affichages ci-dessous, émettre une conjecture sur le sens de variation et une conjecture sur la convergence de la suite $\left(u_n\right)$.
>> suite(2) 1.3333333333333333
>> suite(5) 1.0058479532163742
>> suite(10) 1.0000057220349845
>> suite(20) 1.000000000005457

Partie B

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $]-\infty~;~5[$ par :

$$ f(x) = \dfrac{4}{5 - x}. $$

Ainsi, la suite $\left(u_n\right)$ est définie par $u_0 = 3$ et pour tout $n \in \mathbb{N},: u_{n+1} = f\left(u_n\right)$.

  1. Montrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $]-\infty~;~5[$.
  2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ on a : $$ 1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 4. $$
    1. Soit $x$ un réel de l'intervalle $]-\infty~;~5[$.
      Prouver l'équivalence suivante : $$ f(x) = x \iff x^2 - 5x + 4 = 0. $$
    2. Résoudre $f(x) = x$ dans l'intervalle $]-\infty~;~5[$.
  4. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
    Déterminer sa limite.
  5. Le comportement de la suite serait-il identique en choisissant comme terme initial $u_0 = 4$ au lieu de $u_0 = 3$ ?

Concepts abordés

Chapitres principaux

Suites et Limites

Notions détaillées

Théorème d’encadrement (des gendarmes) Théorème du point fixe Limite de suites Suites récurrentes Algorithme Python Raisonnement par récurrence

Solution écrite

Polynésie 19 juin 2024 - J1

Partie A

  1. Initialisation $u=3$, puis boucle $u\leftarrow 4/(5-u)$. 
    def suite(n):
    u = 3
    for i in range(n):
        u = 4/(5 - u)
    return u
    Fonction complétée comme ci-dessus.
  2. Calculs successifs de $u_1$ et $u_2$. $$u_1=\dfrac{4}{5-3}=2,\qquad u_2=\dfrac{4}{5-2}=\dfrac{4}{3}\approx 1{,}333.$$
    L'affichage de suite(2) correspond à $u_2=4/3$.
  3. Lecture des valeurs $u_2$, $u_5$, $u_{10}$, $u_{20}$. Les termes semblent décroître et se rapprocher de $1$.
    Conjecture : $(u_n)$ décroissante et convergente vers $1$.

Partie B

  1. Dérivée d'un quotient $4/(5-x)$. $$f'(x)=\dfrac{4}{(5-x)^2}>0\quad\text{sur }]-\infty\,;\,5[.$$
    $f$ est strictement croissante sur $]-\infty\,;\,5[$.
  2. Récurrence ; $f$ croissante et $f(1)=1$, $f(4)=4$. Initialisation : $1\leqslant u_1=2\leqslant u_0=3\leqslant 4$. Si $1\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n\leqslant 4$, alors $f(1)\leqslant f(u_{n+1})\leqslant f(u_n)\leqslant f(4)$, soit $1\leqslant u_{n+2}\leqslant u_{n+1}\leqslant 4$.
    Pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $$1\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n\leqslant 4.$$
    1. Équivalence algébrique pour $x<5$. $$f(x)=x\iff\dfrac{4}{5-x}=x\iff x^2-5x+4=0.$$
      Équivalence démontrée.
    2. Racines du trinôme $x^2-5x+4=(x-1)(x-4)$.
      $$S=\{1\,;\,4\}$$
  4. Suite décroissante minorée ; passage à la limite dans $u_{n+1}=f(u_n)$. $(u_n)$ est décroissante et minorée par $1$, donc convergente vers $\ell\geqslant 1$. Par continuité, $\ell=f(\ell)$, donc $\ell\in\{1\,;\,4\}$. Comme la suite décroît depuis $u_0=3$, on a $\ell=1$.
    $$\lim_{n\to+\infty}u_n=1$$
  5. Point fixe $4$ : suite constante. Si $u_0=4$, alors $u_1=f(4)=4$, et par récurrence $u_n=4$ pour tout $n$.
    Non : la suite est constante égale à $4$ (converge vers $4$).

Polynésie 19 juin 2024 - J1