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Exercice 1

Polynésie • Jour 2 • 18 juin 2025

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Exercice 1

Dans tout l'exercice, les probabilités seront, si nécessaire, arrondies à $10^{-3}$ près.

Une donnée binaire est une donnée qui ne peut prendre que deux valeurs : $0$ ou $1$.

Une donnée de ce type est transmise successivement d'une machine à une autre.

Chaque machine transmet la donnée reçue soit de manière fidèle, soit de façon contraire.

La transmission est fidèle dans $90\,\%$ des cas, et donc contraire dans $10\,\%$ des cas.

Dans tout l'exercice, la première machine reçoit toujours la valeur $1$.

Partie A

Pour tout entier naturel $n\geqslant1$, on note :

  • $V_n$ l'évènement : « la $n$-ième machine détient la valeur $1$ » ;
  • $\overline{V_n}$ l'évènement : « la $n$-ième machine détient la valeur $0$ ».
    1. Recopier et compléter l'arbre de probabilité donné.
    2. Démontrer que $P(V_3)=0,82$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
    3. Sachant que la troisième machine a reçu la valeur $1$, calculer la probabilité que la deuxième machine ait aussi reçu la valeur $1$.
  2. Pour tout entier naturel $n\geqslant1$, on note $p_n=P(V_n)$. La première machine a reçu la valeur $1$, donc $p_1=1$.
    1. Démontrer que pour tout entier naturel $n\geqslant1$ : $$p_{n+1}=0,8p_n+0,1.$$
    2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n\geqslant1$ : $$p_n=0,5\times0,8^{n-1}+0,5.$$
    3. Calculer la limite de $p_n$ lorsque $n$ tend vers l'infini. Interpréter ce résultat.

Partie B

On considère une fonction Python simulation qui prend en paramètre un entier naturel $n$ représentant le nombre de transmissions réalisées d'une machine à une autre.

  1. Déterminer le rôle des instructions des lignes 5 et 6 de l'algorithme.
  2. Calculer la probabilité que simulation(4) renvoie la liste [1, 1, 1, 1, 1] et la probabilité que simulation(6) renvoie la liste [1, 0, 1, 0, 0, 1, 1].

Concepts abordés

Chapitres principaux

Probabilités Conditionnelles
Suites et Limites

Notions détaillées

Limite de suites Suites récurrentes Raisonnement par récurrence Formule des probabilités totales Arbres pondérés Algorithme Python

Solution écrite

Polynésie 18 juin 2025 J2

Exercice 1

Partie A

    1. Transmission fidèle avec probabilité $0,9$, contraire avec $0,1$. Depuis une valeur donnée, la transmission est fidèle avec probabilité $0,9$ et contraire avec $0,1$. Arbre : $P_{V_1}(V_2)=0,9$, $P_{V_1}(\overline{V_2})=0,1$, $P_{V_2}(V_3)=0,9$, $P_{V_2}(\overline{V_3})=0,1$, $P_{\overline{V_2}}(V_3)=0,1$, $P_{\overline{V_2}}(\overline{V_3})=0,9$.
      Arbre complété.
    2. Formule des probabilités totales (conditionnement par $V_2$ / $\overline{V_2}$). Comme $p_1=1$, $P(V_2)=0,9$ et $P(\overline{V_2})=0,1$. Donc $$P(V_3)=0,9\times0,9+0,1\times0,1=0,82.$$
      La troisième machine détient la valeur $1$ avec probabilité $0,82$.
    3. Formule de Bayes. $$P_{V_3}(V_2)=\dfrac{P(V_2\cap V_3)}{P(V_3)}=\dfrac{0,9\times0,9}{0,82}=\dfrac{0,81}{0,82}\approx0,988.$$
      $$P_{V_3}(V_2)\approx0,988$$
    1. Probabilités totales conditionnées par l'état de la machine $n$. Pour que la machine $n+1$ détienne $1$ : soit la machine $n$ avait $1$ et transmet fidèlement, soit elle avait $0$ et transmet contrairement. $$p_{n+1}=0,9p_n+0,1(1-p_n)=0,8p_n+0,1.$$
      $$p_{n+1}=0,8p_n+0,1$$
    2. Récurrence : initialisation $p_1=1$, hérédité via la relation affine. Pour $n=1$ : $0,5\times0,8^0+0,5=1=p_1$. Si $p_n=0,5\times0,8^{n-1}+0,5$, alors $$p_{n+1}=0,8(0,5\times0,8^{n-1}+0,5)+0,1=0,5\times0,8^n+0,5.$$
      $$p_n=0,5\times0,8^{n-1}+0,5$$
    3. Limite d'une suite géométrique de raison $|r|<1$. $$\lim_{n\to+\infty}p_n=0,5.$$
      À long terme, la probabilité de détenir la valeur $1$ tend vers $0,5$.

Partie B

  1. Lecture du code : tirage aléatoire modélisant une transmission contraire. Les lignes 5 et 6 simulent une transmission contraire avec probabilité $0,1$ : si rand()<0.1, la donnée devient $1-donnee$.
    Simulation d'une transmission contraire (probabilité $0,1$).
  2. Indépendance des transmissions successives. $$P([1,1,1,1,1])=0,9^4=0,6561.$$ Pour $[1,0,1,0,0,1,1]$, les transmissions sont : contraire, contraire, contraire, fidèle, contraire, fidèle. $$P=0,1^4\times0,9^2=0,000081.$$
    $$0,6561\quad\text{et}\quad0,000081$$

Polynésie 18 juin 2025 J2