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Exercice 2

Polynésie • Jour 2 • 17 juin 2026

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Exercice 2

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

$f(x)=\ln(8x^{3}-1)$ sur $[4\,;\,10]$.

  1. Montrer que $$f'(x)=\dfrac{24x^{2}}{(2x-1)(4x^{2}+2x+1)}.$$
    1. En déduire que $f$ est croissante sur $[4\,;\,10]$.
    2. Montrer que pour tout $x\in[4\,;\,10]$ : $4\leqslant f(x)\leqslant 10$.
  3. Soit $g(x)=f(x)-x$, strictement décroissante.
    1. Montrer que $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[4\,;\,10]$.
    2. Donner un encadrement de $\alpha$ à $10^{-3}$ près.

Partie B

$u_0=5$ et $u_{n+1}=f(u_n)$.

  1. Donner $u_1$ approché à $10^{-1}$ près.
    1. Montrer par récurrence que $4\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant 10$.
    2. En déduire que $(u_n)$ converge.
  3. Montrer que $(u_n)$ converge vers $\alpha$.

Partie C

On admet $8{,}4\leqslant\alpha\leqslant 8{,}5$. Fonction Python alpha :

def f(x):
    return log(8*x**3 - 1)

def alpha(a):
    n = 0
    u = 5
    while u < a:
        u = f(u)
        n = n + 1
    return n
  1. alpha(8.499) renvoie $11$. Interpréter.
  2. Pourquoi alpha(8.6) ne renvoie aucune valeur ?

Concepts abordés

Chapitres principaux

Suites et Limites
Fonctions logarithmes
Dérivation et convexité

Notions détaillées

Fonction logarithme népérien Suites récurrentes Raisonnement par récurrence Étude de fonctions Algorithme Python

Solution écrite

Polynésie 17 juin 2026 J2

Partie A

  1. Dérivée de $\ln u$ ; factorisation $8x^{3}-1=(2x-1)(4x^{2}+2x+1)$. Posons $u(x)=8x^{3}-1$. Sur $[4\,;\,10]$, $u'(x)=24x^{2}>0$ et $u(4)=511>0$, donc $f$ est bien définie et dérivable, avec $$f'(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}=\dfrac{24x^{2}}{8x^{3}-1}.$$ Or $(2x-1)(4x^{2}+2x+1)=8x^{3}-1$, d'où $$f'(x)=\dfrac{24x^{2}}{(2x-1)(4x^{2}+2x+1)}.$$
    $$f'(x)=\dfrac{24x^{2}}{(2x-1)(4x^{2}+2x+1)}$$
    1. Signe de $f'$ sur $[4\,;\,10]$. Pour $x\geqslant 4$ : $24x^{2}>0$, $2x-1>0$ et $4x^{2}+2x+1>0$, donc $f'(x)>0$. Ainsi $f$ est croissante sur $[4\,;\,10]$, de $f(4)=\ln 511\approx 6{,}236$ à $f(10)=\ln 7999\approx 8{,}99<10$.
      $f$ croissante sur $[4\,;\,10]$.
    2. Image de $[4\,;\,10]$ par $f$. Si $4\leqslant x\leqslant 10$, alors $f(4)\leqslant f(x)\leqslant f(10)$. Or $f(4)>4$ et $f(10)<10$, donc $4\leqslant f(x)\leqslant 10$.
      Pour tout $x\in[4\,;\,10]$ : $4\leqslant f(x)\leqslant 10$.
    1. $g$ continue, strictement décroissante ; $g(4)>0>g(10)$. Sur $[4\,;\,10]$, $g$ est continue et strictement décroissante, avec $g(4)\approx 2{,}236>0$ et $g(10)\approx -1{,}013<0$. D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique $\alpha\in[4\,;\,10]$ tel que $g(\alpha)=0$.
      Unique solution $\alpha$ sur $[4\,;\,10]$.
    2. Encadrements successifs à la calculatrice. On obtient $8<\alpha<9$, puis $8{,}4<\alpha<8{,}5$, puis $8{,}49<\alpha<8{,}50$, et enfin $$8{,}499<\alpha<8{,}500.$$
      $$8{,}499<\alpha<8{,}500$$

Partie B

  1. $u_1=f(5)$. $$u_1=f(5)=\ln\bigl(8\times 5^{3}-1\bigr)=\ln 999\approx 6{,}9$$ (arrondi à $10^{-1}$ près).
    $$u_1\approx 6{,}9$$
    1. Récurrence ; $f$ croissante et $4<f(4)$, $f(10)<10$.
      • Initialisation. $u_0=5$ et $u_1\approx 6{,}9$, donc $4\leqslant u_0\leqslant u_1\leqslant 10$.
      • Hérédité. Si $4\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant 10$, la croissance de $f$ donne $f(4)\leqslant u_{n+1}\leqslant u_{n+2}\leqslant f(10)$, puis $4\leqslant u_{n+1}\leqslant u_{n+2}\leqslant 10$.
      • Conclusion. Pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $4\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant 10$.
      Pour tout $n$ : $4\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant 10$.
    2. Croissante et majorée par $10$. $(u_n)$ est croissante et majorée par $10$, donc convergente vers une limite $\ell\leqslant 10$.
      $(u_n)$ croissante et majorée : convergente.
  3. Passage à la limite ; unicité de $\alpha$. Comme $u_{n+1}=f(u_n)$ et $f$ est continue, $\ell=f(\ell)$, soit $g(\ell)=0$. Or $\alpha$ est l'unique racine de $g$ sur $[4\,;\,10]$ et $\ell\in[4\,;\,10]$, donc $\ell=\alpha$.
    $$\lim u_n=\alpha$$

Partie C

  1. Interprétation du rang renvoyé par l'algorithme. alpha(8.499) renvoie $11$ : c'est à partir du rang $n=11$ que $u_n\geqslant 8{,}499$.
    $11$ est le plus petit entier $n$ tel que $u_n\geqslant 8{,}499$.
  2. $u_n\to\alpha\leqslant 8{,}5<8{,}6$ : la condition $u<a$ reste toujours vraie. Pour tout $n$, $u_n\leqslant\alpha\leqslant 8{,}5<8{,}6$. La boucle while u < a ne s'arrête jamais : aucune valeur n'est renvoyée.
    Aucune valeur n'est renvoyée (boucle infinie).

Polynésie 17 juin 2026 J2