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Exercice 3

Polynésie • Jour 1 • 17 juin 2025

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Exercice 3

Pour tout entier naturel $n$, on considère la fonction $f_n$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par :

$$f_0(x)=e^{-x}\quad\text{et, pour }n\geqslant1,\quad f_n(x)=x^ne^{-x}.$$

Pour tout entier naturel $n$, on note $\mathcal C_n$ la courbe représentative de $f_n$.

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A : Étude des fonctions $f_n$ pour $n\geqslant1$

On considère un entier naturel $n\geqslant1$.

    1. Montrer que pour tout $x\geqslant0$ : $$f'_n(x)=(n-x)x^{n-1}e^{-x}.$$
    2. Justifier tous les éléments du tableau de variations donné.
  2. Justifier par le calcul que le point $A(1~;~e^{-1})$ appartient à la courbe $\mathcal C_n$.

Partie B : Étude des intégrales $\int_0^1 f_n(x)\,dx$

On considère la suite $(I_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :

$$I_n=\int_0^1f_n(x)\,dx=\int_0^1x^ne^{-x}\,dx.$$
    1. Donner une interprétation graphique de $I_n$.
    2. Par lecture du graphique, quelle conjecture peut-on émettre sur la limite de la suite $(I_n)$ ?
  2. Calculer $I_0$.
    1. Démontrer que pour tout $x\in[0~;~1]$ : $$0\leqslant x^{n+1}\leqslant x^n.$$
    2. En déduire que pour tout entier naturel $n$ : $$0\leqslant I_{n+1}\leqslant I_n.$$
  4. Démontrer que la suite $(I_n)$ est convergente vers une limite positive ou nulle notée $\ell$.
  5. En utilisant une intégration par parties, démontrer que pour tout entier naturel $n$ : $$I_{n+1}=(n+1)I_n-\dfrac1e.$$
    1. Démontrer que si $\ell > 0$, l'égalité précédente conduit à une contradiction.
    2. Démontrer que $\ell=0$.
  7. Que renvoie mystere(100) dans le contexte de l'exercice ?

Concepts abordés

Chapitres principaux

Calcul intégral
Primitives et équations différentielles
Suites et Limites

Notions détaillées

Théorème fondamental de l’intégration Intégration par parties Limite de suites Étude de fonctions

Solution écrite

Polynésie 17 juin 2025 J1

Exercice 3

Partie A

    1. Dérivée d'un produit $u'v+uv'$ avec $u(x)=x^n$ et $v(x)=e^{-x}$. $$f_n(x)=x^ne^{-x},\quad f'_n(x)=nx^{n-1}e^{-x}-x^ne^{-x}=(n-x)x^{n-1}e^{-x}.$$
      $$f'_n(x)=(n-x)x^{n-1}e^{-x}$$
    2. Signe de $f'_n$ ; valeurs remarquables et limite en $+\infty$. Sur $[0\,;\,+\infty[$, $x^{n-1}e^{-x}\geqslant0$, donc le signe de $f'_n$ est celui de $n-x$. Ainsi $f_n$ croît sur $[0\,;\,n]$ et décroît sur $[n\,;\,+\infty[$. De plus $f_n(0)=0$, $f_n(n)=\left(\dfrac{n}{e}\right)^n$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f_n(x)=0$ (croissances comparées).
      Tableau de variations justifié (maximum en $x=n$).
  2. Calcul direct de $f_n(1)$. $$f_n(1)=1^ne^{-1}=e^{-1}.$$
    Le point $A(1\,;\,e^{-1})$ appartient à toutes les courbes $\mathcal{C}_n$.

Partie B

    1. Interprétation géométrique d'une intégrale de fonction positive. $I_n$ est l'aire de la surface délimitée par $\mathcal{C}_n$, l'axe des abscisses et les droites $x=0$ et $x=1$.
    2. Lecture graphique. Graphiquement, on conjecture que $I_n\to0$.
      Conjecture : $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}I_n=0$.
  2. Primitive de $e^{-x}$. $$I_0=\int_0^1e^{-x}\,dx=\left[-e^{-x}\right]_0^1=1-\dfrac{1}{e}.$$
    $$I_0=1-\dfrac{1}{e}$$
    1. Pour $x\in[0\,;\,1]$, la fonction $t\mapsto x^t$ est décroissante. Pour $x\in[0\,;\,1]$, on a $0\leqslant x\leqslant1$, donc $0\leqslant x^{n+1}\leqslant x^n$.
    2. Croissance de l'intégrale ; positivité de $e^{-x}$. Comme $e^{-x}>0$, on obtient $0\leqslant x^{n+1}e^{-x}\leqslant x^ne^{-x}$, puis en intégrant : $$0\leqslant I_{n+1}\leqslant I_n.$$
      $$0\leqslant I_{n+1}\leqslant I_n$$
  4. Théorème de convergence monotone (suite décroissante minorée). La suite $(I_n)$ est décroissante et minorée par $0$, donc elle converge vers une limite $\ell\geqslant0$.
    $(I_n)$ converge vers $\ell\geqslant0$.
  5. Intégration par parties : $u=x^{n+1}$, $v'=e^{-x}$. $$I_{n+1}=\left[-x^{n+1}e^{-x}\right]_0^1+(n+1)\int_0^1x^ne^{-x}\,dx=(n+1)I_n-\dfrac{1}{e}.$$
    $$I_{n+1}=(n+1)I_n-\dfrac{1}{e}$$
    1. Passage à la limite dans la relation de récurrence. Si $\ell>0$, alors $(n+1)I_n\to+\infty$, donc $I_{n+1}\to+\infty$, ce qui contredit $I_{n+1}\to\ell$.
    2. Par contraposée (ou exclusion). Nécessairement $\ell=0$.
      $$\ell=0$$
  7. Lecture de l'algorithme et de la relation de récurrence. mystere(100) renvoie la liste des valeurs approchées de $I_0$, $I_1$, …, $I_{100}$ calculées par la relation de récurrence.
    Liste des $101$ premières intégrales $I_n$ approchées.

Polynésie 17 juin 2025 J1