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Exercice 1

Polynésie • Jour 1 • 17 juin 2025

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Exercice 1

Une équipe américaine a cartographié pour la première fois les allergies alimentaires chez l'enfant aux États-Unis en 2020.

On sait qu'en 2020, $17\,\%$ de la population des États-Unis habite en zone rurale et $83\,\%$ en zone urbaine.

Parmi les enfants vivant en zone rurale, $6,2\,\%$ sont atteints d'allergie alimentaire. On sait aussi que $9\,\%$ des enfants des États-Unis sont atteints d'allergie alimentaire.

Partie A

On interroge au hasard un enfant dans la population des États-Unis et on note :

  • $R$ : « l'enfant interrogé habite en zone rurale » ;
  • $A$ : « l'enfant interrogé est atteint d'allergie alimentaire ».
  1. Traduire cette situation à l'aide d'un arbre de probabilité.
    1. Calculer la probabilité que l'enfant interrogé habite en zone rurale et soit atteint d'allergie alimentaire.
    2. En déduire la probabilité que l'enfant interrogé habite en zone urbaine et soit atteint d'allergie alimentaire.
    3. L'enfant interrogé habite en zone urbaine. Quelle est la probabilité qu'il soit atteint d'allergie alimentaire ? Arrondir le résultat à $10^{-4}$.

Partie B

On réalise une étude en interrogeant au hasard $100$ enfants des États-Unis.

On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre d'enfants atteints d'allergie alimentaire dans l'échantillon considéré.

  1. Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
  2. Quelle est la probabilité qu'au moins $10$ enfants parmi les $100$ interrogés soient atteints d'allergie alimentaire ? Arrondir le résultat à $10^{-4}$.

Partie C

On s'intéresse à un échantillon de $20$ enfants atteints d'allergie alimentaire choisis au hasard.

L'âge d'apparition des premiers symptômes allergiques est modélisé par des variables aléatoires $A_1$, $A_2$, ..., $A_{20}$ indépendantes, de même espérance $4$ et de variance $2,25$.

On considère :

$$M_{20}=\dfrac{A_1+A_2+\cdots+A_{20}}{20}.$$
  1. Que représente la variable aléatoire $M_{20}$ dans le contexte de l'exercice ?
  2. Déterminer l'espérance et la variance de $M_{20}$.
  3. Justifier, à l'aide de l'inégalité de concentration, que : $$P(20,97.$$ Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Probabilités Conditionnelles

Notions détaillées

Espérance et variance (linéarité) Inégalité de Concentration Formule des probabilités totales Arbres pondérés

Solution écrite

Polynésie 17 juin 2025 J1

Exercice 1

Partie A

  1. Lecture des données de l'énoncé ; arbre pondéré à deux niveaux. On a $P(R)=0,17$, $P(\overline{R})=0,83$, $P_R(A)=0,062$ et $P(A)=0,09$. L'arbre commence par les branches $R$ et $\overline{R}$, puis $A$ / $\overline{A}$ sur chaque branche.
    Arbre complété avec $P(R)=0,17$, $P(\overline{R})=0,83$ et $P_R(A)=0,062$.
    1. Règle de multiplication sur un arbre pondéré. $$P(R\cap A)=P(R)\times P_R(A)=0,17\times0,062=0,01054$$
      $$P(R\cap A)=0,01054$$
    2. Formule des probabilités totales : $P(A)=P(R\cap A)+P(\overline{R}\cap A)$. $$P(\overline{R}\cap A)=P(A)-P(R\cap A)=0,09-0,01054=0,07946$$
      $$P(\overline{R}\cap A)=0,07946$$
    3. Définition des probabilités conditionnelles. $$P_{\overline{R}}(A)=\dfrac{P(\overline{R}\cap A)}{P(\overline{R})}=\dfrac{0,07946}{0,83}\approx0,0957$$
      $$P_{\overline{R}}(A)\approx0,0957$$
      Arrondi à $10^{-4}$.

Partie B

  1. Schéma de Bernoulli : $100$ tirages indépendants, succès de probabilité $0,09$. On interroge $100$ enfants au hasard (assimilé à un tirage avec remise). Chaque enfant est atteint d'allergie avec probabilité $p=0,09$, indépendamment des autres. $X$ compte le nombre de succès.
    $$X\sim\mathcal{B}(100\,;\,0,09)$$
  2. Loi binomiale cumulative à la calculatrice. $$P(X\geqslant10)=1-P(X\leqslant9)\approx0,4125$$
    $$P(X\geqslant10)\approx0,4125$$
    Arrondi à $10^{-4}$.

Partie C

  1. Interprétation de la moyenne empirique $M_{20}$. $M_{20}$ représente l'âge moyen d'apparition des premiers symptômes allergiques dans l'échantillon de $20$ enfants.
    Âge moyen d'apparition des symptômes dans l'échantillon.
  2. Linéarité de l'espérance ; variance d'une moyenne de v.a. i.i.d. $$E(M_{20})=\dfrac{1}{20}\sum_{i=1}^{20}E(A_i)=4.$$ Les $A_i$ étant indépendantes de variance $2,25$ : $$V(M_{20})=\dfrac{2,25}{20}=0,1125.$$
    $$E(M_{20})=4\quad\text{et}\quad V(M_{20})=0,1125$$
  3. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev (inégalité de concentration). L'évènement $2<M_{20}<6$ équivaut à $|M_{20}-4|<2$. Donc $$P(2<M_{20}<6)=1-P(|M_{20}-4|\geqslant2).$$ D'après Bienaymé-Tchebychev, avec $t=2$ : $$P(|M_{20}-4|\geqslant2)\leqslant\dfrac{0,1125}{4}=0,028125.$$ D'où $$P(2<M_{20}<6)\geqslant1-0,028125=0,971875>0,97.$$
    $$P(2<M_{20}<6)>0,97$$
    Dans plus de $97\,\%$ des échantillons, l'âge moyen est strictement compris entre $2$ et $6$ ans.

Polynésie 17 juin 2025 J1