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Exercice 3

Métropole • Jour 2 • 17 juin 2026

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Exercice 3

Pour chacune des affirmations, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

  1. $52~\%$ des musiciens jouent de la Pop ; parmi eux, $32~\%$ sont des femmes ; $20~\%$ des musiciens sont des femmes. Évènements $O$ (Pop), $F$ (femme).

    Affirmation 1 : $P_F(O)=0{,}832$.

  2. Proportion $6{,}2~\%$ ; échantillon de $5000$ ; $X$ = nombre de musiciens professionnels.

    Affirmation 2 : $P(X\leqslant 340)\approx 0{,}4$ (arrondi au dixième).

    Affirmation 3 : Par Bienaymé-Tchebychev, $P(230<X<390)>0{,}95$.

  3. 10 personnes dont 4 musiciens ; équipes de 5 avec 2 musiciens et 3 non-musiciens.

    Affirmation 4 : On peut former ainsi $120$ équipes différentes.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Loi binomiale
Probabilités Conditionnelles
Loi des grands nombres
Combinatoire et dénombrement

Notions détaillées

Espérance et variance (linéarité) Inégalité de Bienaymé–Tchebychev Formule des probabilités totales Loi binomiale Dénombrement Loi des grands nombres Vrai / Faux

Solution écrite

Métropole 17 juin 2026 J2

  1. Définition des probabilités conditionnelles ; $P(O)=0{,}52$, $P_O(F)=0{,}32$, $P(F)=0{,}2$. $$P_F(O)=\dfrac{P(O\cap F)}{P(F)}=\dfrac{P(O)\times P_O(F)}{P(F)}=\dfrac{0{,}52\times 0{,}32}{0{,}2}=0{,}832.$$
    Affirmation 1 : VRAIE.
  2. Schéma de Bernoulli : $X\sim\mathcal{B}(5000\,;\,0{,}062)$. À la calculatrice, $P(X\leqslant 340)\approx 0{,}96$, qui n'est pas égal à $0{,}4$ au dixième près.
    Affirmation 2 : FAUSSE.
  3. Bienaymé-Tchebychev avec $E(X)=310$ et $t=80$. $$E(X)=np=310,\qquad V(X)=np(1-p)=290{,}78.$$ $$P(230<X<390)=P\bigl(|X-310|<80\bigr)=1-P\bigl(|X-310|\geqslant 80\bigr).$$ $$P\bigl(|X-310|\geqslant 80\bigr)\leqslant\dfrac{290{,}78}{80^2}\approx 0{,}045\leqslant 0{,}05,$$ d'où $P(230<X<390)\geqslant 0{,}95$.
    Affirmation 3 : VRAIE.
  4. Choix non ordonnés : $\dbinom{4}{2}$ musiciens et $\dbinom{6}{3}$ non-musiciens. $$\dbinom{4}{2}\times\dbinom{6}{3}=6\times 20=120.$$
    Affirmation 4 : VRAIE.

Métropole 17 juin 2026 J2