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Exercice 2

Métropole • Jour 2 • 17 juin 2026

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Exercice 2

Bassin de $30\,000$ litres ; contamination par une substance polluante. Les deux parties sont indépendantes.

Partie A : modèle discret

$V_0=0$ et $V_{n+1}=0{,}995V_n+6$ ($n$ en heures).

  1. Calculer $V_1$ et $V_2$.
  2. Compléter le programme Python volume(n).
  3. Montrer par récurrence que $V_n\leqslant V_{n+1}\leqslant 1200$.
  4. Justifier la convergence de $(V_n)$ et calculer sa limite.

Partie B : modèle continu

$v$ solution de $y'=-0{,}005y+6$ avec $v(0)=0$.

    1. Solutions de $(E)$.
    2. Montrer $v(t)=1200\bigl(1-\mathrm e^{-0{,}005t}\bigr)$.
    3. Limite de $v$ en $+\infty$.
    4. Sens de variation de $v$.
  2. Un taux supérieur à $5\,\%$ du volume nécessite un nettoyage. Faudra-t-il nettoyer ?
  3. Instant exact où $v$ dépasse $50$ litres ; valeur en h et min (arrondi à la minute).

Concepts abordés

Chapitres principaux

Primitives et équations différentielles
Suites et Limites

Notions détaillées

Théorème du point fixe Fonction exponentielle Limite de suites Suites récurrentes Raisonnement par récurrence Algorithme Python Équations différentielles

Solution écrite

Métropole 17 juin 2026 J2

Partie A

  1. Relation de récurrence avec $V_0=0$. $$V_1=0{,}995\times 0+6=6,\qquad V_2=0{,}995\times 6+6=11{,}97.$$
    $$V_1=6 \qquad V_2=11{,}97$$
  2. Initialiser $v$ à $V_0=0$, puis appliquer $n$ fois la récurrence. 
    def volume(n):
    v = 0
    for k in range(n):
        v = 0.995*v + 6
    return v
  3. Récurrence sur $I_n$ : « $V_n\leqslant V_{n+1}\leqslant 1200$ ».
    • Initialisation : $V_0=0\leqslant V_1=6\leqslant 1200$.
    • Hérédité : si $V_n\leqslant V_{n+1}\leqslant 1200$, alors en multipliant par $0{,}995>0$ et en ajoutant 6 : $V_{n+1}\leqslant V_{n+2}\leqslant 1194+6=1200$.
    • Conclusion : pour tout $n\in\mathbb{N}$, $V_n\leqslant V_{n+1}\leqslant 1200$.
    Pour tout $n$ : $V_n\leqslant V_{n+1}\leqslant 1200$.
  4. Croissante et majorée ; théorème du point fixe. $(V_n)$ croissante et majorée par 1200 converge vers $\ell\leqslant 1200$. La fonction $x\mapsto 0{,}995x+6$ est continue, donc $\ell=0{,}995\ell+6$, soit $\ell=\dfrac{6}{0{,}005}=1200$.
    Convergente ; $\displaystyle\lim V_n=1200$.
    La quantité de polluant se stabilise autour de 1200 litres.

Partie B

    1. Équation $y'=ay+b$ avec $a=-0{,}005$, $b=6$. Solutions : $t\mapsto C\mathrm{e}^{-0{,}005t}-\dfrac{b}{a}=C\mathrm{e}^{-0{,}005t}+1200$.
      $$y=1200+C\mathrm{e}^{-0{,}005t}\quad(C\in\mathbb{R})$$
    2. Condition initiale $v(0)=0$. $$C+1200=0\iff C=-1200.$$
      $$v(t)=1200\bigl(1-\mathrm{e}^{-0{,}005t}\bigr)$$
    3. $\mathrm{e}^{-0{,}005t}\to 0$ quand $t\to+\infty$.
      $$\lim\limits_{t\to+\infty}v(t)=1200$$
    4. $v'(t)=6\mathrm{e}^{-0{,}005t}>0$.
      $v$ strictement croissante sur $[0\,;\,+\infty[$.
  2. Seuil de nettoyage : $5~\%$ de $30\,000=1500$ litres. $v$ croissante et majorée par 1200, donc $v(t)\leqslant 1200<1500$ pour tout $t$.
    Non, pas de nettoyage nécessaire.
  3. Résolution de $v(t)=50$. $$1200\bigl(1-\mathrm{e}^{-0{,}005t}\bigr)=50\iff\mathrm{e}^{-0{,}005t}=\dfrac{23}{24}\iff t=200\ln\!\left(\dfrac{24}{23}\right)\approx 8{,}511.$$ Soit environ 8 heures et 31 minutes.
    $$t=200\ln\dfrac{24}{23}\approx 8\,\mathrm{h}\,31\,\mathrm{min}$$

Métropole 17 juin 2026 J2