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Exercice 1

Métropole • Jour 1 • 16 juin 2026

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Exercice 1

Un navire assure une liaison ; les familles peuvent réserver une cabine et/ou un emplacement véhicule.

Partie A

$30~\%$ réservent un véhicule et, parmi elles, $80~\%$ une cabine. Au total, $75~\%$ réservent une cabine.

Évènements : $V$ (véhicule), $C$ (cabine).

    1. Donner $P(C)$.
    2. Compléter l'arbre pondéré (quatre pointillés).
      Arbre à compléter
  2. Calculer $P(V\cap C)$.
  3. Une famille a réservé une cabine. Déterminer $P_C(V)$.
  4. Déterminer $P_{\overline{V}}(C)$ (arrondi à $10^{-2}$) et interpréter.

Partie B

Suppléments : $100\,€$ (cabine), $70\,€$ (véhicule). $X$ = prix des suppléments :

$x_i$$0$$70$$100$$170$
$P(X=x_i)$$0{,}19$$0{,}06$$0{,}51$$0{,}24$

$Y$ = prix des extras ; $E(Y)=104$, $V(Y)=1686$ ; $X$ et $Y$ indépendantes.

  1. Justifier $E(X)=96$ et $V(X)=3114$.
  2. Remise de $40~\%$ : $Z$ = montant total après réduction.
    1. Justifier $Z=0{,}6(X+Y)$.
    2. En déduire $E(Z)=120$ et $V(Z)=1728$.
  3. Échantillon de $n$ familles ; $M_n=\dfrac{Z_1+\cdots+Z_n}{n}$.
    1. Montrer $E(M_n)=120$ et $V(M_n)=\dfrac{1728}{n}$.
    2. Plus petit $n$ tel que Bienaymé-Tchebychev donne $P(114<M_n<126)\geqslant 0{,}85$. Interpréter.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Probabilités Conditionnelles
Somme de variables aléatoires
Loi des grands nombres

Notions détaillées

Espérance et variance (linéarité) Inégalité de Bienaymé–Tchebychev Formule des probabilités totales Arbres pondérés Somme de variables aléatoires Loi des grands nombres

Solution écrite

Métropole 16 juin 2026 J1

Partie A

    1. Choix au hasard : équiprobabilité ; les proportions sont assimilables à des probabilités. Comme $75~\%$ des familles réservent une cabine :
      $$P(C)=0{,}75$$
    2. Données de l'énoncé et complémentarité.
      • $P(V)=0{,}30$, donc $P(\overline{V})=0{,}70$ ;
      • $P_V(C)=0{,}80$, donc $P_V(\overline{C})=0{,}20$.
      Arbre complété : $P(V)=0{,}3$, $P(\overline{V})=0{,}7$, $P_V(C)=0{,}8$, $P_V(\overline{C})=0{,}2$.
  2. Définition des probabilités conditionnelles. $$P(V \cap C)=P(V)\times P_V(C)=0{,}3\times 0{,}8=0{,}24$$
    $$P(V \cap C)=0{,}24$$
  3. Formule de Bayes (définition des probabilités conditionnelles). $$P_C(V)=\dfrac{P(V\cap C)}{P(C)}=\dfrac{0{,}24}{0{,}75}=\dfrac{24}{75}=0{,}32$$
    $$P_C(V)=0{,}32$$
  4. $V$ et $\overline{V}$ partitionnent l'univers : formule des probabilités totales. $$P(C\cap\overline{V})=P(C)-P(C\cap V)=0{,}75-0{,}24=0{,}51$$ $$P_{\overline{V}}(C)=\dfrac{P(\overline{V}\cap C)}{P(\overline{V})}=\dfrac{0{,}51}{0{,}7}=\dfrac{51}{70}\approx 0{,}729$$
    $$P_{\overline{V}}(C)\approx 0{,}73$$
    Environ $73~\%$ des familles n'ayant pas réservé d'emplacement véhicule ont réservé une cabine.

Partie B

  1. Définition de l'espérance et de la variance. $$\begin{aligned}E(X)&=0\times 0{,}19+70\times 0{,}06+100\times 0{,}51+170\times 0{,}24\\&=4{,}2+51+40{,}8=96.\end{aligned}$$ $$\begin{aligned}V(X)&=(0-96)^2\times 0{,}19+(70-96)^2\times 0{,}06+(100-96)^2\times 0{,}51+(170-96)^2\times 0{,}24\\&=1751{,}04+40{,}56+8{,}16+1314{,}24=3114.\end{aligned}$$
    $$E(X)=96 \qquad V(X)=3114$$
    1. Remise de $40~\%$ : facteur multiplicatif $1-\dfrac{40}{100}=0{,}6$. $X+Y$ est le montant avant réduction ; après réduction :
      $$Z=0{,}6(X+Y)$$
    2. Linéarité de l'espérance ; indépendance de $X$ et $Y$ pour la variance. $$E(Z)=0{,}6\bigl(E(X)+E(Y)\bigr)=0{,}6(96+104)=0{,}6\times 200=120$$ $$V(X+Y)=V(X)+V(Y)=3114+1686=4800$$ $$V(Z)=0{,}6^2\times V(X+Y)=0{,}36\times 4800=1728$$
      $$E(Z)=120 \qquad V(Z)=1728$$
    1. $M_n$ moyenne empirique d'un échantillon i.i.d. de loi de $Z$. $$E(M_n)=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E(Z_i)=\dfrac{120n}{n}=120$$ $$V(M_n)=\dfrac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}V(Z_i)=\dfrac{1728n}{n^2}=\dfrac{1728}{n}$$
      $$E(M_n)=120 \qquad V(M_n)=\dfrac{1728}{n}$$
    2. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec $t=6$. $$P(114<M_n<126)=P\bigl(|M_n-120|<6\bigr)=1-P\bigl(|M_n-120|\geqslant 6\bigr)$$ $$P\bigl(|M_n-120|\geqslant 6\bigr)\leqslant\dfrac{V(M_n)}{6^2}=\dfrac{1728}{36n}=\dfrac{48}{n}$$ d'où $P(114<M_n<126)\geqslant 1-\dfrac{48}{n}$. On impose $1-\dfrac{48}{n}\geqslant 0{,}85$, soit $\dfrac{48}{n}\leqslant 0{,}15$, donc $n\geqslant\dfrac{48}{0{,}15}=320$.
      $$n=320$$
      Il faut interroger au moins 320 familles pour affirmer, avec une confiance d'au moins $85~\%$, que le coût moyen après réduction est strictement compris entre 114 et 126€.

Métropole 16 juin 2026 J1