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Exercice 2

Métropole • Jour 2 • 10 septembre 2025

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Exercice 2

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est juste ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée.

  1. Dans une classe de $24$ élèves, il y a $14$ filles et $10$ garçons.

    Affirmation 1 : Il est possible de constituer $272$ groupes différents de quatre élèves composés de deux filles et deux garçons.

  2. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=3\sin(2x+\pi)$.

    Affirmation 2 : Une équation de la tangente au point d'abscisse $\dfrac\pi2$ est $y=6x-3\pi$.

  3. On considère $F(x)=(2x+1)\ln(x)$ sur $]0~;~+\infty[$.

    Affirmation 3 : $F$ est une primitive de $f(x)=\dfrac2x$.

  4. On considère $g(t)=45e^{0,06t}+20$.

    Affirmation 4 : $g$ est l'unique solution de $y'+0,06y=1,2$ vérifiant $g(0)=65$.

  5. On considère l'équation différentielle : $$y'-y=3e^{0,4x}.$$

    Affirmation 5 : Les solutions de cette équation sont des fonctions convexes sur $\mathbb R$.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Probabilités Conditionnelles
Dérivation et convexité
Primitives et équations différentielles

Notions détaillées

Convexité et dérivée seconde Fonction exponentielle Primitives et linéarité Étude de fonctions Équations différentielles Dénombrement Vrai / Faux

Solution écrite

Métropole 10 septembre 2025 J2

Exercice 2

  1. Combinaisons : choisir $2$ filles parmi $14$ et $2$ garçons parmi $10$. $$inom{14}{2}inom{10}{2}=91 imes 45=4095 eq 272.$$
    Affirmation 1 fausse.
  2. Tangente : $y=f(a)+f'(a)(x-a)$. $$fleft(frac{pi}{2} ight)=0,quad f'(x)=6cos(2x+pi),quad f'left(frac{pi}{2} ight)=6.$$ $$y=6left(x-frac{pi}{2} ight)=6x-3pi.$$
    Affirmation 2 vraie.
  3. Dérivée d'un produit ; comparaison à $frac{2}{x}$. $$F'(x)=2ln x+2+frac{1}{x} eqfrac{2}{x}.$$
    Affirmation 3 fausse.
  4. Substitution dans $y'+0{,}06y=1{,}2$. $$g'(t)+0{,}06g(t)=5{,}4e^{0{,}06t}+1{,}2 eq 1{,}2.$$
    Affirmation 4 fausse.
  5. Solutions $y=Ce^x-5e^{0{,}4x}$ ; signe de $y''$. Pour $C=0$, $y''(x)=-0{,}8e^{0{,}4x}<0$ : solution concave, non convexe.
    Affirmation 5 fausse.

Métropole 10 septembre 2025 J2