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Exercice 2

Centres étrangers • Jour 1 • 5 juin 2024

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On considère la fonction $ f $ définie sur l’intervalle $ [0 ; 1] $ par : $$f(x) = 2xe^{-x}.$$

On admet que la fonction $ f $ est dérivable sur l’intervalle $ [0 ; 1] $.

    1. Résoudre sur l’intervalle $ [0 ; 1] $ l’équation $ f(x) = x $.
    2. Démontrer que, pour tout $ x $ appartenant à l’intervalle $ [0 ; 1] $, $$ f'(x) = 2(1 - x)e^{-x}. $$
    3. Donner le tableau de variations de la fonction $ f $ sur l’intervalle $ [0 ; 1] $.
      On considère la suite $ (u_n) $ définie par $ u_0 = 0,1 $ et pour tout entier naturel $ n $, $$ u_{n+1} = f(u_n). $$
    1. Démontrer par récurrence que, pour tout $ n $ entier naturel, $$ 0 \leq u_n < u_{n+1} \leq 1. $$
    2. En déduire que la suite $ (u_n) $ est convergente.
  3. Démontrer que la limite de la suite $ (u_n) $ est $ \ln(2) $.
    1. Justifier que pour tout entier naturel $ n $, $ \ln(2) - u_n $ est positif.
    2. On souhaite écrire un script Python qui renvoie une valeur approchée de $ \ln(2) $ par défaut à $ 10^{-4} $ près, ainsi que le nombre d’étapes pour y parvenir.
      Recopier et compléter le script ci-dessous afin qu’il réponde au problème posé. 
      
    def seuil() :
        n = 0
        u = 0.1
        while ln(2) - u ... 0.0001 :
            n = n + 1
            u = ...
        return (u, n)
    3. Donner la valeur de la variable $ n $ renvoyée par la fonction seuil().

Concepts abordés

Chapitres principaux

Suites et Limites

Notions détaillées

Théorème du point fixe Fonction exponentielle Suites récurrentes Étude de fonctions Algorithme Python Raisonnement par récurrence

Solution écrite

Centres étrangers 5 juin 2024 - J1

    1. Équation $f(x)=x$ ; factorisation. $$2xe^{-x}=x \iff x(2e^{-x}-1)=0 \iff x=0 \quad\text{ou}\quad x=\ln 2.$$ Or $0<\ln 2<1$, donc les deux solutions appartiennent à $[0\,;\,1]$.
      $$S=\{0\,;\,\ln 2\}$$
    2. Produit : dérivée de $xe^{-x}$. $$f'(x)=2e^{-x}+2x(-e^{-x})=2(1-x)e^{-x}.$$
      $$f'(x)=2(1-x)e^{-x}$$
    3. Signe de $f'$ sur $[0\,;\,1]$. Pour $x\in[0\,;\,1[$, $1-x>0$ et $e^{-x}>0$, donc $f'(x)>0$ ; $f'(1)=0$. Ainsi $f$ est strictement croissante, avec $f(0)=0$ et $f(1)=\dfrac{2}{e}$.
      $f$ croît de $0$ à $\dfrac{2}{e}$ sur $[0\,;\,1]$.
    1. Récurrence ; croissance de $f$ et $f(1)=\dfrac{2}{e}<1$. Initialisation. $u_1=f(0{,}1)\approx 0{,}18$, donc $0\leqslant u_0<u_1\leqslant 1$.

      Hérédité. Si $0\leqslant u_n<u_{n+1}\leqslant 1$, la croissance de $f$ donne $0\leqslant u_{n+1}<u_{n+2}\leqslant \dfrac{2}{e}\leqslant 1$.
      Pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $$0\leqslant u_n<u_{n+1}\leqslant 1.$$
    2. Suite croissante et majorée. $(u_n)$ est croissante et majorée par $1$, donc convergente.
      $(u_n)$ est convergente.
  3. Théorème du point fixe ; $\ell\geqslant u_0=0{,}1$. La limite $\ell$ vérifie $f(\ell)=\ell$ avec $0\leqslant\ell\leqslant 1$. Les solutions sont $0$ et $\ln 2$ ; or $\ell\geqslant 0{,}1$, donc $\ell=\ln 2$.
    $$\lim_{n\to+\infty}u_n=\ln 2$$
    1. Suite croissante convergente vers $\ln 2$. Pour tout $n$, $u_n\leqslant\ln 2$, donc $\ln 2-u_n\geqslant 0$.
      $\ln 2-u_n$ est positif.
    2. Boucle tant que l'erreur dépasse $10^{-4}$. 
      def seuil() :
    n = 0
    u = 0.1
    while ln(2) - u > 0.0001 :
        n = n + 1
        u = 2*u*exp(-u)
    return (u, n)
      Compléter par > et 2*u*exp(-u).
    3. Exécution du script.
      $$n=11$$

Centres étrangers 5 juin 2024 - J1