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Exercice 3

Centres étrangers • Jour 2 • 13 juin 2025

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Exercice 3

Le codage \og base64 \fg, utilisé en informatique, permet de représenter et de transmettre des messages et d'autres données telles que des images, en utilisant 64 caractères : les 26 lettres majuscules, les 26 lettres minuscules, les chiffres de 0 à 9 et deux autres caractères spéciaux.

Les parties A, B et C sont indépendantes.

Partie A

Dans cette partie, on s'intéresse aux séquences de 4 caractères en base64.

  1. Déterminer le nombre de séquences possibles.
  2. Déterminer le nombre de séquences si l'on impose que les 4 caractères sont différents deux à deux.
    1. Déterminer le nombre de séquences ne comportant pas de lettre A majuscule.
    2. En déduire le nombre de séquences comportant au moins une lettre A majuscule.
    3. Déterminer le nombre de séquences comportant exactement une fois la lettre A majuscule.
    4. Déterminer le nombre de séquences comportant exactement deux fois la lettre A majuscule.

Partie B

On s'intéresse à la transmission d'une séquence de 250 caractères d'un ordinateur à un autre.

On suppose que la probabilité qu'un caractère soit mal transmis est égale à $0,01$ et que les transmissions des différents caractères sont indépendantes entre elles.

On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de caractères mal transmis.

  1. On admet que la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale. Donner ses paramètres.
  2. Déterminer la probabilité que tous les caractères soient bien transmis. On donnera l'expression exacte, puis une valeur approchée à $10^{-3}$ près.
  3. Que pensez-vous de l'affirmation suivante : \og La probabilité que plus de 16 caractères soient mal transmis est négligeable \fg ?

Partie C

On s'intéresse maintenant à la transmission de 4 séquences de 250 caractères.

On note $X_1$, $X_2$, $X_3$ et $X_4$ les variables aléatoires correspondant aux nombres de caractères mal transmis lors de la transmission de chacune des 4 séquences.

On admet que les variables aléatoires $X_1$, $X_2$, $X_3$ et $X_4$ sont indépendantes entre elles et suivent la même loi que la variable aléatoire $X$ définie en partie B.

On note $S=X_1+X_2+X_3+X_4$.

  1. Déterminer, en justifiant, l'espérance et la variance de la variable aléatoire $S$.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Probabilités Conditionnelles

Notions détaillées

Espérance et variance (linéarité) Formule des probabilités totales Indépendance d'événements

Solution écrite

Centres étrangers 13 juin 2025 J2

Exercice 3

Partie A

  1. Arrangements avec répétition : $64$ choix pour chaque position. $$64^4=16,777,216.$$
    $$16,777,216$$ séquences possibles.
  2. Arrangements sans répétition : $A_{64}^4$. $$64 imes 63 imes 62 imes 61=15,249,024.$$
    $$15,249,024$$ séquences à caractères deux à deux distincts.
    1. $63$ caractères disponibles (sans le A majuscule). $$63^4=15,752,961.$$
      $$15,752,961$$
    2. Complémentaire. $$64^4-63^4=1,024,255.$$
      $$1,024,255$$
    3. Choisir la place du A, puis $63$ choix pour les trois autres. $$inom{4}{1} imes 63^3=4 imes 250,047=1,000,188.$$
      $$1,000,188$$
    4. Choisir deux places pour les A, puis $63$ choix pour les deux autres. $$inom{4}{2} imes 63^2=6 imes 3,969=23,814.$$
      $$23,814$$

Partie B

  1. $250$ transmissions indépendantes ; succès « mal transmis » de probabilité $0{,}01$.
    $$X immathcal{B}(250,;,0{,}01)$$
  2. $P(X=0)=(1-p)^n$. $$P(X=0)=0{,}99^{250}pprox 0{,}081.$$
    $$P(X=0)=0{,}99^{250}pprox 0{,}081$$
  3. $P(X>16)=1-P(Xleqslant 16)$ ; $E(X)=2{,}5$, donc $16$ est très au-delà de la moyenne. À la calculatrice, $P(X>16)$ est de l'ordre de $10^{-8}$ (négligeable).
    L'affirmation est raisonnable : cette probabilité est négligeable.

Partie C

  1. Linéarité de l'espérance ; additivité des variances (indépendance). Chaque $X_i immathcal{B}(250,;,0{,}01)$ : $$E(X_i)=2{,}5,qquad V(X_i)=250 imes 0{,}01 imes 0{,}99=2{,}475.$$ Pour $S=X_1+X_2+X_3+X_4$ : $$E(S)=4 imes 2{,}5=10,qquad V(S)=4 imes 2{,}475=9{,}9.$$
    $$E(S)=10quad ext{et}quad V(S)=9{,}9$$

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