Partie A
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]-1~;~+\infty[$ par :
$$f(x)=4\ln(x+1)-\dfrac{x^2}{25}$$
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $]-1~;~+\infty[$.
- Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-1$.
- Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $]-1~;~+\infty[$, on a :
$$f'(x)=\dfrac{100-2x-2x^2}{25(x+1)}.$$
- Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]-1~;~+\infty[$ puis en déduire que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $[2~;~6,5]$.
- On considère $h$ la fonction définie sur l'intervalle $[2~;~6,5]$ par $h(x)=f(x)-x$.
On donne le tableau de variations de la fonction $h$.
Montrer que l'équation $h(x)=0$ admet une unique solution $\alpha\in[2~;~6,5]$.
- On considère le script suivant, écrit en langage Python :
from math import *
def f(x):
return 4*log(1+x)-(x**2)/25
def bornes(n):
p = 1/10**n
x = 6
while f(x)-x > 0:
x = x + p
return (x-p, x)
On rappelle qu'en langage Python :
- la commande $\text{log}(x)$ renvoie la valeur $\ln x$ ;
- la commande
c**d renvoie la valeur de $c^d$.
- Donner les valeurs renvoyées par la commande
bornes(2). On donnera les valeurs arrondies au centième.
- Interpréter ces valeurs dans le contexte de l'exercice.
Partie B
Dans cette partie, on pourra utiliser les résultats obtenus dans la partie A.
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=2$, et, pour tout entier naturel $n$ :
$$u_{n+1}=f(u_n).$$
- Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ :
$$2\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}<6,5.$$
- En déduire que la suite $(u_n)$ converge vers une limite $\ell$.
- On rappelle que le réel $\alpha$, défini dans la partie A, est la solution de l'équation $h(x)=0$ sur l'intervalle $[2~;~6,5]$.
Justifier que $\ell=\alpha$.