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Exercice 1

Asie • Jour 1 • 5 septembre 2025

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Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par :

$$f(x)=xe^{-2x}.$$

On admet que $f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb R$ et on note $f'$ la dérivée de $f$.

On note $C_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé du plan.

Pour chacune des affirmations suivantes, préciser si elle est vraie ou fausse, puis justifier la réponse donnée.

  1. Affirmation 1 : Pour tout réel $x$, on a : $$f'(x)=(-2x+1)e^{-2x}.$$
  2. Affirmation 2 : La fonction $f$ est une solution sur $\mathbb R$ de l'équation différentielle : $$y'+2y=e^{-2x}.$$
  3. Affirmation 3 : La fonction $f$ est convexe sur $]-\infty~;~1]$.
  4. Affirmation 4 : L'équation $f(x)=-1$ admet une unique solution sur $\mathbb R$.
  5. Affirmation 5 : L'aire du domaine délimité par la courbe $C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=0$ et $x=1$ est égale à : $$\dfrac14-\dfrac{3e^{-2}}4.$$

Concepts abordés

Chapitres principaux

Dérivation et convexité
Calcul intégral
Primitives et équations différentielles

Notions détaillées

Convexité et dérivée seconde Fonction exponentielle Théorème fondamental de l’intégration Étude de fonctions Équations différentielles Vrai / Faux

Solution écrite

Asie 5 septembre 2025 J1

  1. Dérivée d'un produit : $(uv)'=u'v+uv'$ avec $u=x$, $v=e^{-2x}$. $$f'(x)=e^{-2x}+x(-2e^{-2x})=(1-2x)e^{-2x}=(-2x+1)e^{-2x}.$$
    Affirmation 1 : vraie.
  2. On vérifie $f'+2f=e^{-2x}$. $$f'(x)+2f(x)=(1-2x)e^{-2x}+2xe^{-2x}=e^{-2x}.$$
    Affirmation 2 : vraie.
  3. Convexité : signe de $f''$. $$f''(x)=(-2)e^{-2x}+(1-2x)(-2e^{-2x})=4(x-1)e^{-2x}.$$ Comme $e^{-2x}>0$, $f''(x)\leqslant 0$ sur $]-\infty~;~1]$ : $f$ y est concave, non convexe.
    Affirmation 3 : fausse.
  4. Variations et théorème de la bijection.

    $f'(x)=0\iff x=\frac12$. $f$ croissante sur $]-\infty~;~\frac12]$, décroissante ensuite. $\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$, $f(0)=0$, et $f\geqslant 0$ sur $[0~;~+\infty[$.

    Ainsi $f(x)=-1$ a une unique solution (sur $]-\infty~;~0[$).

    Affirmation 4 : vraie.
  5. Intégration par parties ; $f\geqslant 0$ sur $[0~;~1]$. $$\int_0^1 xe^{-2x}\,dx=\left[-\dfrac{x}{2}e^{-2x}\right]_0^1+\dfrac12\int_0^1 e^{-2x}\,dx=\dfrac14-\dfrac34 e^{-2}.$$
    Affirmation 5 : vraie.

Asie 5 septembre 2025 J1