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Exercice 3

Asie • Jour 1 • 11 juin 2025

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Aide

Un patient doit prendre toutes les heures une dose de $ 2 $ ml d'un médicament.

On introduit la suite $ \left(u_n\right) $ telle que le terme $ u_n $ représente la quantité de médicament, exprimée en ml présente dans l'organisme immédiatement après $ n $ prises de médicament.

On a $ u_1 = 2 $ et

pour tout entier naturel $ n $ strictement positif : $ u_{n+1} = 2 + 0,8u_n $.

Partie A

En utilisant ce modèle, un médecin cherche à savoir à partir de combien de prises du médicament la quantité présente dans l'organisme du patient est strictement supérieure à 9 mL.

  1. Calculer la valeur $ u_2 $.
  2. Montrer par récurrence que : $u_n = 10 - 8 \times 0{,}8^{n-1}$ \,\text{pour tout entier naturel} \:n \:\text{strictement positif.}$$
  3. Déterminer $ \lim\limits_{n \to +\infty} u_n $ et donner une interprétation de ce résultat dans le contexte de l'exercice.
  4. Soit $ N $ un entier naturel strictement positif, l'inéquation $ u_N \geqslant 10 $ admet-elle des solutions ?
    Interpréter le résultat de cette question dans le contexte de l'exercice.
  5. Déterminer à partir de combien de prises de médicament la quantité de médicament présente dans l'organisme du patient est strictement supérieure à $ 9 $ mL. Justifier votre démarche.

Partie B

En utilisant la même modélisation, le médecin s'intéresse à la quantité moyenne de médicament présente dans l'organisme du malade au cours du temps.

On définit pour cela la suite $ \left(S_n\right) $ définie pour tout entier naturel $ n $ strictement positif par

$$S_n = \frac{u_1 + u_2 + \dots + u_n}{n}.$$

On admet que la suite $ \left(S_n\right) $ est croissante.

  1. Calculer $ S_2 $.
  2. Montrer que pour tout entier naturel $ n $ strictement positif, $$u_1 + u_2 + \dots + u_n = 10n - 40 + 40 \times 0{,}8^n.$$
  3. Calculer $ \lim\limits_{n \to +\infty} S_n $.
  4. On donne la fonction mystere suivante, écrite en langage Python : 
    def mystere(k):
      n = 1
      s = 2
      while s < k:
          n = n + 1
          s = 10 - 40/n + (40*0.8**n)/n
      return n
    Dans le contexte de l'énoncé, que représente la valeur renvoyée par la saisie mystere(9) ?
  5. Justifier que cette valeur est strictement supérieure à $ 10 $.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Suites et Limites

Notions détaillées

Somme des termes d'une suite Fonction logarithme népérien Suites géométriques Limite de suites Algorithme Python Raisonnement par récurrence

Solution écrite

Asie 11 juin 2025 J1

Partie A

  1. Application de la relation de récurrence. $$u_2=2+0{,}8\times 2=3{,}6$$
    $$u_2=3{,}6$$
  2. Démonstration par récurrence. Initialisation : $10-8\times 0{,}8^0=2=u_1$.
    Hérédité : si $u_n=10-8\times 0{,}8^{n-1}$, alors $$u_{n+1}=2+0{,}8(10-8\times 0{,}8^{n-1})=10-8\times 0{,}8^{n}.$$
    Pour tout $n\geqslant 1$, $$u_n=10-8\times 0{,}8^{n-1}.$$
  3. $|0{,}8|<1$ implique $0{,}8^{n-1}\to 0$. $$\lim_{n\to+\infty}u_n=10.$$
    $$\lim u_n=10$$
    À long terme, la quantité de médicament dans l'organisme tend vers $10$ mL.
  4. Pour tout $n\geqslant 1$, $8\times 0{,}8^{n-1}>0$, donc $u_n<10$.
    $u_N\geqslant 10$ n'a aucune solution : la quantité reste toujours strictement inférieure à $10$ mL.
  5. Résolution de $u_n>9$ à l'aide du logarithme népérien. $$10-8\times 0{,}8^{n-1}>9\iff 0{,}8^{n-1}<\dfrac18\iff n-1>\dfrac{\ln(1/8)}{\ln(0{,}8)}\approx 9{,}32.$$ Donc $n\geqslant 11$.
    À partir de la $11^{\text{e}}$ prise.

Partie B

  1. Définition de $S_n$. $$S_2=\dfrac{2+3{,}6}{2}=2{,}8$$
    $$S_2=2{,}8$$
  2. Somme d'une suite géométrique de raison $0{,}8$. $$\sum_{k=1}^{n}u_k=10n-8\sum_{k=0}^{n-1}0{,}8^{k}=10n-8\cdot\dfrac{1-0{,}8^{n}}{0{,}2}=10n-40+40\times 0{,}8^{n}.$$
    $$\sum_{k=1}^{n}u_k=10n-40+40\times 0{,}8^{n}$$
  3. $S_n=10-\dfrac{40}{n}+40\dfrac{0{,}8^{n}}{n}$ et croissances comparées / suites géométriques.
    $$\lim_{n\to+\infty}S_n=10$$
  4. La boucle s'arrête dès que $S_n\geqslant k$.
    mystere(9) renvoie le plus petit entier $n$ tel que la quantité moyenne $S_n$ soit supérieure ou égale à $9$ mL.
  5. $(S_n)$ croissante et $S_{10}\approx 6{,}43<9$. Donc le premier $n$ tel que $S_n\geqslant 9$ vérifie $n>10$.
    La valeur renvoyée est strictement supérieure à $10$.

Asie 11 juin 2025 J1