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Exercice 3

Antilles Guyane • Jour 1 • 16 juin 2026

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Exercice 3

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

L'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(\mathrm{O}\,;\,\vec{\imath}\,;\,\vec{\jmath}\,;\,\vec{k}\right)$.

On considère :

  • les points $S(-1\,;\,\sqrt{2}\,;\,-4)$, $\mathrm A(2\,;\,\sqrt{2}\,;\,-1)$, $\mathrm B(1\,;\,\sqrt{2}\,;\,0)$ et $\mathrm C(2\,;\,0\,;\,-1)$ ;
  • la droite $d$ de représentation paramétrique $$\begin{cases} x = 2-k \\ y = \sqrt{2}\,k \\ z = -1-k \end{cases}, \quad k \in \mathbb{R}$$
  • le plan $P$ d'équation $x - z + 1 = 0$.

On admet que les points A, B et C ne sont pas alignés.

Affirmation 1 : Le vecteur $\overrightarrow{SA}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.

Affirmation 2 : Les droites $(SB)$ et $d$ sont sécantes.

Affirmation 3 : La droite $d$ est parallèle au plan $P$.

Affirmation 4 : Le projeté orthogonal de S sur le plan $P$ est le point H de coordonnées $(-3\,;\,\sqrt{2}\,;\,-2)$.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Géométrie dans l'espace: partie 1
Géométrie dans l'espace: partie 2

Notions détaillées

Produit scalaire dans l’espace Équations de plans Représentation paramétrique de droites Orthogonalité dans l'espace Distances et angles dans l’espace Vrai / Faux

Solution écrite

Antilles Guyane 16 juin 2026 J1

  1. Montrer que $\overrightarrow{SA}$ est orthogonal à $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$. $$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix},\quad \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}0\\-\sqrt{2}\\0\end{pmatrix},\quad \overrightarrow{SA}\begin{pmatrix}3\\0\\3\end{pmatrix}.$$ $$\overrightarrow{SA}\cdot\overrightarrow{AB}=3(-1)+3\times 1=0,\qquad \overrightarrow{SA}\cdot\overrightarrow{AC}=0.$$ $\overrightarrow{SA}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$, donc normal à $(ABC)$.
    Affirmation 1 : VRAIE.
  2. $(SB)$ et $d$ non parallèles ; chercher un point commun. $$\overrightarrow{SB}\begin{pmatrix}2\\0\\4\end{pmatrix},\quad \vec u_d\begin{pmatrix}-1\\\sqrt{2}\\-1\end{pmatrix}$$ non colinéaires. Représentation paramétrique de $(SB)$ : $$\begin{cases}x=-1+2t\\ y=\sqrt{2}\\ z=-4+4t\end{cases}.$$ Le système avec $d$ donne $k=1$ puis $t=1$ et $t=\dfrac{1}{2}$ : incompatible. Aucun point commun : droites non coplanaires.
    Affirmation 2 : FAUSSE.
  3. $\vec u_d\cdot\vec n_P=0$ : $d$ parallèle à $P$. $$\vec u_d\begin{pmatrix}-1\\\sqrt{2}\\-1\end{pmatrix},\quad \vec n_P\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix},\qquad \vec n_P\cdot\vec u_d=-1+1=0.$$
    Affirmation 3 : VRAIE.
  4. Vérifier $H\in P$ et $(SH)\perp P$. $$x_H-z_H+1=-3-(-2)+1=0$$ donc $H\in P$. $$\overrightarrow{SH}\begin{pmatrix}-2\\0\\2\end{pmatrix}$$ colinéaire à $\vec n_P$, donc $(SH)\perp P$.
    Affirmation 4 : VRAIE.

Antilles Guyane 16 juin 2026 J1