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Exercice 1

Amérique du Sud • Jour 2 • 14 novembre 2025

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Exercice 1

Dans cet exercice, tous les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près en cas de besoin. Les deux parties sont indépendantes.

Partie A

Au tennis, Abel réussit son premier service dans $70\,\%$ des cas. Lorsque le premier service est réussi, il gagne le point dans $80\,\%$ des cas. Après un échec au premier service, il gagne le point dans $45\,\%$ des cas.

On considère les évènements :

  • $S$ : « Abel réussit son premier service » ;
  • $G$ : « Abel gagne le point ».
  1. Décrire l'évènement $\overline S$ puis traduire la situation par un arbre pondéré.
  2. Calculer $P(S\cap G)$.
  3. Justifier que $P(G)=0,695$.
  4. Abel a gagné le point. Quelle est la probabilité qu'il ait réussi son premier service ?
  5. Les évènements $S$ et $G$ sont-ils indépendants ? Justifier.

Partie B

À la sortie d'une usine, une balle de tennis est jugée conforme dans $85\,\%$ des cas.

  1. On teste successivement $20$ balles. On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de balles conformes parmi les $20$ testées.
    1. Quelle est la loi suivie par $X$ et quels sont ses paramètres ?
    2. Calculer $P(X\leqslant18)$.
    3. Quelle est la probabilité qu'au moins deux balles ne soient pas conformes parmi les $20$ balles testées ?
    4. Déterminer l'espérance de $X$.
  2. On teste maintenant $n$ balles successivement. On considère les variables $X_i$ indépendantes suivant une loi de Bernoulli de paramètre $0,85$ et : $$M_n=\dfrac{X_1+X_2+\cdots+X_n}{n}.$$
    1. Déterminer l'espérance et la variance de $M_n$.
    2. Après avoir rappelé l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que : $$P(0,75 < M_n < 0,95)\geqslant1-\dfrac{12,75}{n}.$$
    3. En déduire un entier $n$ tel que cette probabilité soit supérieure à $0,9$.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Probabilités Conditionnelles

Notions détaillées

Espérance et variance (linéarité) Inégalité de Bienaymé–Tchebychev Formule des probabilités totales Indépendance d'événements Arbres pondérés Loi binomiale

Solution écrite

Amérique du Sud 14 novembre 2025 J2

Exercice 1

Partie A

  1. Évènement contraire ; arbre à deux niveaux. $\overline{S}$ : « Abel rate son premier service ». Arbre : $P(S)=0,7$, $P(\overline{S})=0,3$, $P_S(G)=0,8$, $P_{\overline{S}}(G)=0,45$.
    Arbre complété.
  2. Règle de multiplication. $$P(S\cap G)=0,7\times0,8=0,56.$$
    $$P(S\cap G)=0,56$$
  3. Formule des probabilités totales. $$P(G)=0,7\times0,8+0,3\times0,45=0,695.$$
    $$P(G)=0,695$$
  4. Formule de Bayes. $$P_G(S)=\dfrac{0,56}{0,695}\approx0,806.$$
    $$P_G(S)\approx0,806$$
  5. Critère d'indépendance : $P_S(G)=P(G)$ ? $P_S(G)=0,8\neq P(G)=0,695$.
    Les évènements $S$ et $G$ ne sont pas indépendants.

Partie B

    1. Schéma de Bernoulli : $20$ balles, $p=0,85$.
      $$X\sim\mathcal{B}(20\,;\,0,85)$$
    2. Loi binomiale cumulative.
      $$P(X\leqslant18)\approx0,824$$
    3. « Au moins deux non conformes » $\iff X\leqslant18$.
      Probabilité $\approx0,824$.
    4. $E(X)=np$.
      $$E(X)=17$$
    1. Espérance et variance d'une moyenne de Bernoulli i.i.d. $$E(M_n)=0,85,\quad V(M_n)=\dfrac{0,1275}{n}.$$
      $$E(M_n)=0,85\quad\text{et}\quad V(M_n)=\dfrac{0,1275}{n}$$
    2. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec $a=0,1$. $0,75<M_n<0,95$ équivaut à $|M_n-0,85|<0,1$, d'où $$P(0,75<M_n<0,95)\geqslant1-\dfrac{12,75}{n}.$$
      Inégalité démontrée.
    3. Résolution de $1-\dfrac{12,75}{n}>0,9$. $$n>127,5.$$ On peut prendre $n=128$.
      $$n=128$$

Amérique du Sud 14 novembre 2025 J2