Exercice 1

Exercice 1

Un étudiant mange tous les jours au restaurant universitaire, qui propose des plats végétariens et non végétariens.

• Lorsqu'un jour donné il a choisi un plat végétarien, la probabilité qu'il choisisse un plat végétarien le lendemain est $0,9$.
• Lorsqu'un jour donné il a choisi un plat non végétarien, la probabilité qu'il choisisse un plat végétarien le lendemain est $0,7$.

Pour tout entier naturel $n$, on note $V_n$ l'évènement « l'étudiant a choisi un plat végétarien le $n$-ième jour » et $p_n=P(V_n)$.

Le jour de la rentrée, il a choisi le plat végétarien, donc $p_1=1$.

1. 1. Indiquer la valeur de $p_2$.
   2. Montrer que $p_3=0,88$.
   3. Sachant que le troisième jour l'étudiant a choisi un plat végétarien, quelle est la probabilité qu'il ait choisi un plat non végétarien le jour précédent ?
2. Recopier et compléter l'arbre pondéré.
3. Justifier que, pour tout entier naturel $n\geqslant1$ : $$p_{n+1}=0,2p_n+0,7.$$
4. On souhaite disposer de la liste des premiers termes de $(p_n)$.
   1. Lequel des trois programmes proposés permet d'afficher les $n$ premiers termes de la suite ?
   2. Avec le programme choisi, donner le résultat affiché pour $n=5$.
5. Démontrer par récurrence que, pour tout naturel $n\geqslant1$ : $$p_n=0,125\times0,2^{n-1}+0,875.$$
6. En déduire la limite de la suite $(p_n)$.