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Exercice 4

Amérique du Nord • Jour 2 • 22 mai 2025

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On désigne par $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~\pi]$ par

$$f(x) = \mathrm{e}^x \sin (x).$$

On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère.

PARTIE A

    1. Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~\pi]$, $$f'(x) = \mathrm{e}^x[\sin(x) + \cos(x)].$$
    2. Justifier que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$
    1. Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $0$.
    2. Démontrer que la fonction $f$ est convexe sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$.
    3. En déduire que pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$, $\mathrm{e}^x \sin (x) \geqslant x$.
  3. Justifier que le point d'abscisse $\dfrac{\pi}{2}$ de la courbe représentative de la fonction $f$ est un point d'inflexion.

PARTIE B

On note

$I = \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{e}^x \sin (x)\, \text{d}x$ et $J = \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{e}^x \cos (x)\, \text{d}x.$
  1. En intégrant par parties l'intégrale $I$ de deux manières différentes, établir les deux relations suivantes : $$I= 1+J \qquad \text{et}\qquad I= \mathrm{e}^{\frac{\pi}{2}} - J.$$
  2. En déduire que $I = \dfrac{1 + \mathrm{e}^{\frac{\pi}{2}}}{2}$.
  3. On note $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = x$.
    Les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ sont tracées dans le repère orthogonal ci-dessous sur l'intervalle $[0~;~\pi]$.
    Calculer la valeur exacte de l'aire du domaine hachuré situé entre les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ et les droites d'équation $x = 0$ et $x = \dfrac{\pi}{2}$.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Calcul intégral
Dérivation et convexité

Notions détaillées

Convexité et dérivée seconde Point d'inflexion Théorème fondamental de l’intégration Intégration par parties Étude de fonctions

Solution écrite

Amérique du Nord 22 mai 2025 J2

Partie A

    1. Dérivée d'un produit : $(uv)'=u'v+uv'$. $$f'(x)=\mathrm{e}^x\sin x+\mathrm{e}^x\cos x=\mathrm{e}^x(\sin x+\cos x).$$
      $$f'(x)=\mathrm{e}^x[\sin(x)+\cos(x)]$$
    2. Sur $[0~;~\frac{\pi}{2}]$, $\mathrm{e}^x>0$, $\sin x\geqslant 0$ et $\cos x\geqslant 0$. Donc $f'(x)>0$ sur $[0~;~\frac{\pi}{2}]$ (sauf éventuellement aux bornes où $f'(0)=1>0$).
      $f$ est strictement croissante sur $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$.
    1. Tangente : $y=f(0)+f'(0)x$. $$f(0)=0,\quad f'(0)=1\implies y=x.$$
      $$T:~y=x$$
    2. $f''(x)\geqslant 0$ implique la convexité. $$f''(x)=\mathrm{e}^x(\sin x+\cos x)+\mathrm{e}^x(\cos x-\sin x)=2\mathrm{e}^x\cos x.$$ Sur $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$, $\cos x\geqslant 0$ et $\mathrm{e}^x>0$, donc $f''\geqslant 0$.
      $f$ est convexe sur $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$.
    3. Une fonction convexe est au-dessus de ses tangentes. La tangente en $0$ est $y=x$, donc $f(x)\geqslant x$ sur $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$.
      Pour tout $x\in\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$, $$\mathrm{e}^x\sin x\geqslant x.$$
  3. Changement de signe de $f''$ : point d'inflexion. $$f''\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0,\quad f''>0\text{ sur }\left[0~;~\tfrac{\pi}{2}\right[,\quad f''<0\text{ sur }\left]\tfrac{\pi}{2}~;~\pi\right].$$
    Le point d'abscisse $\dfrac{\pi}{2}$ est un point d'inflexion de $\mathcal{C}_f$.

Partie B

  1. Deux intégrations par parties de $I$.

    1re méthode : $u=\sin x$, $v'=\mathrm{e}^x$ puis $u=\cos x$, $v'=\mathrm{e}^x$ conduit à $I=1+J$.

    2e méthode : $u=\mathrm{e}^x$, $v'=\sin x$ conduit à $I=\mathrm{e}^{\pi/2}-J$.

    $$I=1+J\qquad\text{et}\qquad I=\mathrm{e}^{\pi/2}-J$$
  2. Somme des deux relations. $$2I=1+\mathrm{e}^{\pi/2}\implies I=\dfrac{1+\mathrm{e}^{\pi/2}}{2}.$$
    $$I=\dfrac{1+\mathrm{e}^{\pi/2}}{2}$$
  3. Aire entre $\mathcal{C}_f$ et $y=x$ : $\displaystyle\int_0^{\pi/2}(f(x)-x)\,dx$. $$\mathcal{A}=I-\int_0^{\pi/2}x\,dx=\dfrac{1+\mathrm{e}^{\pi/2}}{2}-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\pi}{2}\right)^2=\dfrac{1+\mathrm{e}^{\pi/2}}{2}-\dfrac{\pi^2}{8}.$$
    $$\mathcal{A}=\dfrac{1+\mathrm{e}^{\pi/2}}{2}-\dfrac{\pi^2}{8}$$

Amérique du Nord 22 mai 2025 J2