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Exercice 2

Amérique du Nord • Jour 2 • 22 mai 2025

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Un des objectifs de cet exercice est de déterminer une approximation du nombre réel $\ln(2)$, en utilisant une des méthodes du mathématicien anglais Henry Briggs au XVIe siècle.

On désigne par $(u_{n})$ la suite définie par :

$u_{0}=2$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\sqrt{u_{n}}$

Partie A

    1. Donner la valeur exacte de $u_{1}$ et de $u_{2}$.
    2. Émettre une conjecture, à l'aide de la calculatrice, sur le sens de variation et la limite éventuelle de la suite.
    1. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n}$.
    2. En déduire que la suite $(u_{n})$ est convergente.
    3. Résoudre dans l'intervalle $[0~;~+\infty[$ l'équation $\sqrt{x} =x$.
    4. Déterminer, en justifiant, la limite de la suite $(u_{n})$.

Partie B

On désigne par $(v_{n})$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n}=\ln \left(u_{n}\right)$.

    1. Démontrer que la suite $(v_{n})$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$.
    2. Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$.
    3. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $\ln (2)=2^{n} \ln \left(u_{n}\right)$.
  2. On a tracé ci-dessous dans un repère orthonormé la courbe $\mathscr{C}$ de la fonction ln et la tangente T à la courbe $\mathscr{C}$ au point d'abscisse 1.

    Une équation de la droite T est $y = x - 1$.

    Les points $\mathrm{A}_{0}$, $\mathrm{A}_{1}$, $\mathrm{A}_{2}$ ont pour abscisses respectives $u_{0}$, $u_{1}$ et $u_{2}$ et pour ordonnée 0.

    On décide de prendre $x - 1$ comme approximation de $\ln (x)$ lorsque $x$ appartient à l'intervalle $]0,99~;~1,01[$.
    1. Déterminer à l'aide de la calculatrice le plus petit entier naturel $k$ tel que $u_{k}$ appartienne à l'intervalle $]0,99 ~;~1,01[$ et donner une valeur approchée de $u_{k}$ à $10^{-5}$ près.
    2. En déduire une approximation de $\ln \left(u_{k}\right)$.
    3. Déduire des questions 1. c. et 2. b. de la partie B une approximation de $\ln (2)$.
  3. On généralise la méthode précédente à tout réel $a$ strictement supérieur à 1.

    Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous afin que l'appel Briggs(a) renvoie une approximation de $\ln (a)$.

    On rappelle que l'instruction en langage Python sqrt(a) correspond à $\sqrt{a}$. 
      from math import*
  def Briggs(a):
    n = 0
    while a >= 1.01:
        a = sqrt(a)
        n = n+1
    L =...
  return L

Concepts abordés

Chapitres principaux

Suites et Limites
Fonctions logarithmes

Notions détaillées

Théorème d’encadrement (des gendarmes) Théorème du point fixe Fonction logarithme népérien Suites géométriques Limite de suites Algorithme Python Raisonnement par récurrence

Solution écrite

Amérique du Nord 22 mai 2025 J2

Partie A

    1. Application de $u_{n+1}=\sqrt{u_n}$. $$u_1=\sqrt{2},\qquad u_2=\sqrt{\sqrt{2}}=2^{1/4}$$
      $$u_1=\sqrt{2}\quad\text{et}\quad u_2=2^{1/4}$$
    2. Lecture des premiers termes à la calculatrice. $u_1\approx 1{,}414$, $u_2\approx 1{,}189$, $u_3\approx 1{,}091$, $u_4\approx 1{,}044$…
      Conjecture : $(u_n)$ est décroissante et converge vers $1$.
    1. Démonstration par récurrence ; $x\mapsto\sqrt{x}$ croissante sur $[0~;~+\infty[$. Initialisation : $1\leqslant \sqrt{2}\leqslant 2$, donc $1\leqslant u_1\leqslant u_0$.
      Hérédité : si $1\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n$, alors en appliquant $\sqrt{\cdot}$ (croissante) : $$1\leqslant u_{n+2}\leqslant u_{n+1}.$$
      Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $$1\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n.$$
    2. Théorème de convergence monotone. $(u_n)$ est décroissante et minorée par $1$, donc convergente vers une limite $\ell\geqslant 1$.
      La suite $(u_n)$ converge.
    3. Équation $\sqrt{x}=x$ sur $[0~;~+\infty[$. $$\sqrt{x}=x\iff x-\sqrt{x}=0\iff \sqrt{x}(\sqrt{x}-1)=0\iff x=0\text{ ou }x=1.$$
      Solutions : $x=0$ et $x=1$.
    4. Passage à la limite dans $u_{n+1}=\sqrt{u_n}$ (continuité de la racine). $\ell=\sqrt{\ell}$ avec $\ell\geqslant 1$, donc $\ell=1$.
      $$\lim_{n\to+\infty}u_n=1$$

Partie B

    1. Propriété $\ln(\sqrt{x})=\frac12\ln x$. $$v_{n+1}=\ln(u_{n+1})=\ln(\sqrt{u_n})=\dfrac12\ln(u_n)=\dfrac12 v_n.$$
      $(v_n)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$.
    2. Terme général d'une suite géométrique ; $v_0=\ln 2$.
      $$v_n=\ln(2)\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$$
    3. On multiplie par $2^n$. $$\ln(u_n)=\ln(2)\cdot 2^{-n}\implies \ln(2)=2^n\ln(u_n).$$
      Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $$\ln(2)=2^{n}\ln(u_n).$$
    1. Calcul itératif des racines carrées. $u_6\approx 1{,}01089>1{,}01$ et $u_7\approx 1{,}00543\in\,]0{,}99~;~1{,}01[$.
      $$k=7\quad\text{et}\quad u_7\approx 1{,}00543$$
    2. Approximation $\ln(x)\approx x-1$ sur $]0{,}99~;~1{,}01[$.
      $$\ln(u_7)\approx u_7-1\approx 0{,}00543$$
    3. Formule de Briggs : $\ln 2=2^7\ln(u_7)$. $$\ln(2)\approx 128\times 0{,}00543\approx 0{,}695$$
      $$\ln(2)\approx 0{,}695$$
  3. Après $n$ racines, $\ln(a)\approx 2^n(a-1)$.
    L = (a - 1) * 2**n

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