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Exercice 1

Amérique du Nord • Jour 2 • 22 mai 2025

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Aide

Au basket-ball, il est possible de marquer des paniers rapportant un point, deux points ou trois points.

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

L'entraineur d'une équipe de basket décide d'étudier les statistiques de réussite des lancers de ses joueurs. Il constate qu'à l'entrainement, lorsque Victor tente un panier à trois points, il le réussit avec une probabilité de $0,32$.

Lors d'un entrainement, Victor effectue une série de $15$ lancers à trois points. On suppose que ces lancers sont indépendants.

On note $N$ la variable aléatoire qui donne le nombre de paniers marqués.

Les résultats des probabilités demandées seront, si nécessaire, arrondis au millième.

  1. On admet que la variable aléatoire $N$ suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.
  2. Calculer la probabilité que Victor réussisse exactement 4 paniers lors de cette série.
  3. Déterminer la probabilité que Victor réussisse au plus 6 paniers lors de cette série.
  4. Déterminer l'espérance de la variable aléatoire $N$.
  5. On note $T$ la variable aléatoire qui donne le nombre de points marqués après cette série de lancers.
    1. Exprimer $T$ en fonction de $N$.
    2. En déduire l'espérance de la variable aléatoire $T$. Donner une interprétation de cette valeur dans le contexte de l'exercice.
    3. Calculer $P(12 \leqslant T \leqslant 18)$.

Partie B

On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de points marqués par Victor lors d'un match.

On admet que l'espérance $E(X) = 22$ et la variance $V(X) = 65$.

Victor joue $n$ matchs, où $n$ est un nombre entier strictement positif.
On note $X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}$ les variables aléatoires donnant le nombre de points marqués au cours des $1^{\text{er}}, 2^{\text{e}}, \ldots, n$-ième matchs. On admet que les variables aléatoires $X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}$ sont indépendantes et suivent la même loi que celle de $X$.

On pose $M_{n}=\dfrac{X_{1} + X_{2} + \ldots + X_{n}}{n}$.

  1. Dans cette question, on prend $n = 50$.
    1. Que représente la variable aléatoire $M_{50}$ ?
    2. Déterminer l'espérance et la variance de $M_{50}$.
    3. Démontrer que $P\left(\left|M_{50}-22\right| \geqslant 3\right) \leqslant \dfrac{13}{90}$.
    4. En déduire que la probabilité de l'évènement « $19 < M_{50} < 25$ » est strictement supérieure à 0,85.
  2. Indiquer, en justifiant, si l'affirmation suivante est vraie ou fausse :
    « Il n'existe aucun entier naturel $n$ tel que $P\big(\left|M_{n}-22\right| \geqslant 3\big) < 0,01$ ».

Concepts abordés

Chapitres principaux

Somme de variables aléatoires
Loi des grands nombres
Loi binomiale
Probabilités Conditionnelles

Notions détaillées

Espérance et variance (linéarité) Inégalité de Bienaymé–Tchebychev Indépendance d'événements Loi binomiale Somme de variables aléatoires Loi des grands nombres Vrai / Faux

Solution écrite

Amérique du Nord 22 mai 2025 J2

Partie A

  1. Quinze lancers indépendants, même probabilité de succès $0{,}32$ : schéma de Bernoulli.
    $$N \sim \mathcal{B}(15\,;\,0{,}32)$$
  2. Formule de la loi binomiale : $P(N=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$. $$P(N=4)=\binom{15}{4}(0{,}32)^4(0{,}68)^{11}\approx 0{,}206$$
    $$P(N=4)\approx 0{,}206$$
  3. Probabilité cumulative lue à la calculatrice. $$P(N\leqslant 6)=\sum_{k=0}^{6}P(N=k)\approx 0{,}828$$
    $$P(N\leqslant 6)\approx 0{,}828$$
  4. Espérance d'une loi binomiale : $E(N)=np$. $$E(N)=15\times 0{,}32=4{,}8$$
    $$E(N)=4{,}8$$
    En moyenne, Victor marque $4{,}8$ paniers à trois points sur $15$ lancers.
    1. Chaque panier réussi rapporte $3$ points.
      $$T=3N$$
    2. Linéarité de l'espérance. $$E(T)=E(3N)=3E(N)=3\times 4{,}8=14{,}4$$
      $$E(T)=14{,}4$$
      En moyenne, Victor marque $14{,}4$ points lors de cette série de $15$ lancers.
    3. $12\leqslant 3N\leqslant 18\iff 4\leqslant N\leqslant 6$. $$P(12\leqslant T\leqslant 18)=P(4\leqslant N\leqslant 6)\approx 0{,}586$$
      $$P(12\leqslant T\leqslant 18)\approx 0{,}586$$

Partie B

    1. Définition de la moyenne empirique.
      $M_{50}$ est la moyenne des points marqués par Victor sur $50$ matchs.
    2. Espérance et variance d'une moyenne d'échantillon i.i.d. $$E(M_{50})=E(X)=22,\qquad V(M_{50})=\dfrac{V(X)}{50}=\dfrac{65}{50}=1{,}3$$
      $$E(M_{50})=22\quad\text{et}\quad V(M_{50})=1{,}3$$
    3. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev : $P(|Y-E(Y)|\geqslant t)\leqslant \dfrac{V(Y)}{t^2}$. $$P\big(|M_{50}-22|\geqslant 3\big)\leqslant \dfrac{1{,}3}{3^2}=\dfrac{1{,}3}{9}=\dfrac{13}{90}$$
      $$P\big(|M_{50}-22|\geqslant 3\big)\leqslant \dfrac{13}{90}$$
    4. Passage au contraire : $19<M_{50}<25\iff |M_{50}-22|<3$. $$P(19<M_{50}<25)=1-P(|M_{50}-22|\geqslant 3)\geqslant 1-\dfrac{13}{90}=\dfrac{77}{90}\approx 0{,}856>0{,}85$$
      $$P(19<M_{50}<25)\geqslant \dfrac{77}{90}>0{,}85$$
  2. Bienaymé-Tchebychev : $P(|M_n-22|\geqslant 3)\leqslant \dfrac{65}{9n}$. On cherche $\dfrac{65}{9n}<0{,}01$. $$n>\dfrac{65}{0{,}09}\approx 722{,}2$$ Pour tout entier $n\geqslant 723$, la borne est strictement inférieure à $0{,}01$.
    Affirmation fausse : un tel entier existe (par exemple $n=723$).

Amérique du Nord 22 mai 2025 J2