Soit n un entier naturel non nul. Démontrer par l'absurde le résultat suivant:

Si $n$ n'est pas premier alors il admet un diviseur inférieur ou égal à $\sqrt{n}$.

Utiliser un contre exemple pour identifier les propositions fausses ci-dessous.

1. Si $n$ est impair alors $n^2$ est impair.
2. Une suite qui n'est pas croissante est décroissante
3. Tout nombre premier est impair
4. La somme de 2 nombres rationnels est un nombre rationnel
5. La somme de 2 nombres premiers est un nombre premier

Le but de cet exercice est de montrer que $\sqrt{2}$ est irrationnel.

1. Raisonner par l'absurde et montrer que $\sqrt{2}$ s'écrit sous la forme $\frac{p}{q}$ avec $p$ et $q$ que l'on précisera.
2. Soit $n$ un nombre entier, montrer que si $n^2$ est pair alors $n$ est pair.
3. En déduire que $p$ et $q$ sont pairs
4. Conclure

Le but de cet exercice est de montrer que $|x-1|\leq x^2-x+1$ pour tout nombre réel $x$.

1. Comment choisir $x$ pour réecrire cette inégalité sans valeur absolue?
2. Prouver que cette inégalité est vraie dans les 2 cas précédents
3. Conclure

Démontrer par récurrence l'égalité suivante.

Pour tout entier naturel $n$

$1+2+3+...+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$.

Démontrer par récurrence l'inégalité suivante:

pour tout entier naturel $n\geq 4$,  $2^n\geq n^2$.

Montrer que pour tout entier $n\geq 1$, $5^n-1$ est divisible par $4$.

Montrer que pour tout entier $n\geq 1$: $$1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{n^2}\leq 2 -\dfrac{1}{n}$$

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=x^n$. Montrer que pour tout entier $n$: $$f'(x)=nx^{n-1}$$