Logique et raisonnements

Exercices, quiz et cours - Niveau Terminale Spécialité.

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Basique

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6 exercices

Négation d'une proposition

Basique

Quelle est la négation des propositions suivantes?

  1. $n$ est un nombre entier impair
  2. $x>-1$
  3. $f$ est croissante sur $\R$
  4. Tous les parallélogrammes sont des losanges
  5. $x \in [-3;2]$
  6. La carte tirée est un roi ou coeur

Les connecteurs ET et OU

Basique

Dans chaque situation, P et Q sont deux propositions. Indiquer si les propositions formées avec ET/OU sont vraies ou fausses.

  1. $P$: "$n$ est divisible par 4", $Q$: "$n$ est pair".
    Si $n=54$ alors "$P$ et $Q$" est:
  2. $P$: "$x$ est un entier", $Q$: "$x$ est négatif".
    Si $x=3$ alors "$P$ ou $Q$" est:
  3. $P$: "$x$ est un entier", $Q$: "$x$ est négatif".
    Si $x=3$ alors "$P$ ou $Q$" est:

Implication, réciproque et équivalence

Basique

Dans chaque situation, indiquer si A implique B, B implique A ou si A et B sont équivalentes.

  1. $A$: "n est impair" et $B$: "n est premier"
  2. $A$: "$|2x-1|\leq 4$" et $B$: "$-\frac{3}{2}\leq x \leq \frac{5}{2}$"
  3. $A$: "$x^2=a^2$" et $B$: "$x=a$"
  4. $A$: "n est divisible par 4" et $B$: "n est pair"

Donner l'énoncé une contraposée

Basique

Ecrire chacun de ces 2 théorèmes sous forme d'implication puis énoncer leur contraposée.

  1. Théorème de Pythagore
  2. Théorème de Thalès

Raisonner par disjonction des cas (1)

Basique

Prouver les 2 propositions suivantes par disjonction de cas.

  1. Pour tout réel $x$, $x^2$ est positif.
  2. Le produit de 2 entiers consécutif est pair.

Démonstration par contraposée

Basique

Prouver les 2 propositions suivantes par contraposée.

  1. Si $n^2$ est pair alors $n$ est pair.
  2. Si $n$ est premier alors $n=2$ ou $n$ est impair.

Résumé de cours

Logique et raisonnements

Vocabulaire de la logique et types de raisonnement

Proposition

Une affirmation qui peut être vraie ou fausse.

Exemple 1 : "Il pleut" (vraie ou fausse selon la situation)

Exemple 2 : "2 + 3 = 5" (toujours vraie)

Négation d'une proposition

Soit P une proposition. Sa négation notée "non P" est vraie quand P est fausse et fausse quand P est vraie.

Exemple 1 : La négation de "$x^2\leq 4$" est "$x^2>4$"

Exemple 2 : La négation de "Tous les chats sont noirs" est "Il existe au moins un chat qui n'est pas noir"

Et/Ou

Soit A et B deux propositions

∧
La proposition "A et B" est vraie quand les 2 propositions A et B sont vraies et fausse quand au moins 1 des 2 est fausse.

Exemple : "x > 0 et x < 5" est vraie seulement si x ∈ ]0,5[

∨
La proposition "A ou B" est vraie quand au moins 1 des 2 propositions est vraie et fausse quand les 2 sont fausses.

Exemple : "x ≤ 2 ou x ≥ 8" est vraie si x ∈ ]-∞,2] ∪ [8,+∞[

Implication

Soit A et B deux propositions. A$\Rightarrow$B se lit "A implique B". Cette implication est vraie dans la situation suivante: on suppose que A est vraie et on réussit à prouver que B est vraie.

Exemple : "Si x = 2, alors x² = 4" (A$\Rightarrow$B où A: x=2 et B: x²=4)

Relations logiques

Réciproque

La réciproque de A$\Rightarrow$B est :

B$\Rightarrow$A

Exemple : Si "x=2 ⇒ x²=4", alors la réciproque est "x²=4 ⇒ x=2" (fausse car x=-2 aussi)

Contraposée

La contraposée de A$\Rightarrow$B est :

non B$\Rightarrow$non A

Exemple : Si "x=2 ⇒ x²=4", alors "x²≠4 ⇒ x≠2" (vraie)

Équivalence

A$\Leftrightarrow$B est vérifiée lorsque :

A$\Rightarrow$B et B$\Rightarrow$A

Exemple : "x²=4 ⇔ |x|=2" (les deux implications sont vraies)
Quantificateurs
∀

Universel

"pour tout, quel que soit..."

Exemple : ∀x ∈ ℝ, x² ≥ 0
"Pour tout nombre réel x, x² est positif ou nul"
∃

D'existence

"il existe..."

Exemple : ∃x ∈ ℝ, x² = 9
"Il existe au moins un nombre réel x tel que x² = 9" (x = 3 ou x = -3)
Types de raisonnement
1
Disjonction de cas

On sépare les nombres réels en positif/négatifs ou les nombres entiers en pairs/impairs

2
Contraposée

On démontre non B$\Rightarrow$non A plutôt que A$\Rightarrow$B

3
Absurde

Pour prouver que A$\Rightarrow$B, on suppose que A est vraie et que B est fausse et on essaie d'aboutir à une contradiction.

4
Contre-exemple

On trouve un cas de figure qui ne marche pas

Démonstration par récurrence

Les étapes :

1
Propriété

On énonce la propriété P(n)

2
Initialisation

On démontre que P(0) est vraie

3
Hérédité

On suppose que P(n) est vraie pour un certain entier n et on prouve P(n+1)

4
Conclusion

Si l'Initialisation et l'Hérédité sont correctes, on peut conclure par l'axiome de récurrence que P(n) est vraie pour tout entier n

Solution écrite

Aucune solution écrite pour cet exercice.

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