Quelle est la négation des propositions suivantes?

1. $n$ est un nombre entier impair
2. $x>-1$
3. $f$ est croissante sur $\R$
4. Tous les parallélogrammes sont des losanges
5. $x \in [-3;2]$
6. La carte tirée est un roi ou coeur

Dans chaque situation, P et Q sont deux propositions. Indiquer si les propositions formées avec ET/OU sont vraies ou fausses.

1. $P$: "$n$ est divisible par 4", $Q$: "$n$ est pair".
   Si $n=54$ alors "$P$ et $Q$" est:
2. $P$: "$x$ est un entier", $Q$: "$x$ est négatif".
   Si $x=3$ alors "$P$ ou $Q$" est:
3. $P$: "$x$ est un entier", $Q$: "$x$ est négatif".
   Si $x=3$ alors "$P$ ou $Q$" est:

Dans chaque situation, indiquer si A implique B, B implique A ou si A et B sont équivalentes.

1. $A$: "n est impair" et $B$: "n est premier"
2. $A$: "$|2x-1|\leq 4$" et $B$: "$-\frac{3}{2}\leq x \leq \frac{5}{2}$"
3. $A$: "$x^2=a^2$" et $B$: "$x=a$"
4. $A$: "n est divisible par 4" et $B$: "n est pair"

Ecrire chacun de ces 2 théorèmes sous forme d'implication puis énoncer leur contraposée.

1. Théorème de Pythagore
2. Théorème de Thalès

Prouver les 2 propositions suivantes par disjonction de cas.

1. Pour tout réel $x$, $x^2$ est positif.
2. Le produit de 2 entiers consécutif est pair.

Prouver les 2 propositions suivantes par contraposée.

1. Si $n^2$ est pair alors $n$ est pair.
2. Si $n$ est premier alors $n=2$ ou $n$ est impair.

$x$ est un nombre réel positif. Démontrer par récurrence l'inégalité suivante.

Pour tout entier naturel $n$

$(1+x)^n\geq 1+nx$.

Le but de cet exercice est de prouver les résultats suivants en déterminant soi-même le type de raisonnement à utiliser.

1. Montrer que pour tout entier $n$, $\dfrac{n(n+1)}{2}$ est un entier naturel.
2. Montrer que si pour tout nombre réel $\epsilon>0$, $|a|<\epsilon$ alors $a=0$.
3. Soit $n$ un entier naturel strictement supérieur à 1, montrer que $\sqrt{n^2-1}$ n'est pas entier.
4. Montrer que pour tout entier naturel $n$, $3^{2n}-1$ est divisible par 8.

On considère la suite définie pour tout entier naturel par $u_{n+1}=u_{n}+2n+5$ et $u_{0}=2$

Démontrer que tout entier naturel $n$, $u_{n}>n^2$

On considère l'équation: $$7x^5-10x^4+8x-3=0$$

Démontrer que cette équation n'admet pas de solution entière.

On considère la suite définie pour tout entier naturel par $u_{n+1}=u_{n}+2n+1$ et $u_{1}=1$

1. Calculer $u_{2}$, $u_{3}$, $u_{4}$, $u_{5}$
2. Conjecturer une expression de $u_{n}$ en fonction de $n$
3. Démontrer cette conjecture par récurrence

Soit $u_{n}$ la suite définie par $u_{0}=0,7$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac{3u_n}{1+2u_{n}}$

On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infin[$ par $f(x)=\dfrac{3x}{1+2x}$

1. Étudier les variations de $f$ sur $[0;+\infin[$
2. En déduire que si $x\in [0;1]$ alors $f(x)\in [0;1]$
3. Démontrer par récurrence que $0\leq u_{n}\leq u_{n+1}\leq 1$ pour tout nombre entier naturel
4. Que peut-on en déduire pour la suite?

La suite de Fibonacci $(F_n)_{n \geq 0}$ est définie par : $$F_0 = 0, \quad F_1 = 1 ; \quad \forall n \in \mathbb{N}, \quad F_{n+2} = F_{n+1} + F_n.$$ Cette suite a été introduite par Leonardo Fibonacci au treizième siècle pour décrire la croissance d'une population de lapins.

La suite de Fibonacci possède de nombreuses applications, elle permet par exemple de construire la spirale de Fibonacci que l'on retrouve dans de nombreux éléments naturels comme les fleurs de Tournesol ou certains coquillages

On pose

Pour $n \in \mathbb{N}$, soit $P_n$ la propriété : $F_n = \dfrac{\alpha^n - \beta^n}{\sqrt{5}}.$

Démontrer par récurrence cette propriété en faisant une récurrence à deux termes, c'est à dire en supposant que $P_n$ et $P_{n+1}$ sont vraies.